Fonction inverse

A Dérivée et sens de variation

DÉFINITION

La fonction inverse est la fonction définie sur $ℝ*=\left]-\infty ,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Dérivée de la fonction inverse

La dérivée de la fonction inverse f : $x\mapsto \frac{1}{x}$ est la fonction $f^{\prime }$ définie sur $ℝ*$ par $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}$.

EXEMPLE

$f^{\prime }\left(1\right)=-1$ ; $f^{\prime }\left(-1\right)=-1$ ; $f^{\prime }\left(2\right)=-\frac{1}{4}$.

Sens de variation de la fonction inverse

Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$, $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}0$ ; donc

la fonction inverse est strictement décroissante sur chacun de ces deux intervalles.

B Courbe représentative

Nous savons que la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole : elle est composée de deux branches symétriques par rapport à l'origine du repère.

Sur le graphique, l'hyperbole vient se coller contre l'axe des abscisses sans le toucher car $\frac{1}{x}$ ≠ 0. Il en est de même pour l'axe des ordonnées. Ces deux axes de coordonnées sont les asymptotes de l'hyperbole.