Fonction inverse

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence

La fonction inverse a pour courbe représentative une hyperbole. Elle a un centre de symétrie.

I Définition et propriétés

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p241-274_C09_Groupe_Schema_4

La fonction inverse est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par :

f(x)=1x

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ et décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

En effet, pour tous réels a et b non nuls :

f(b)f(a)=1b1a=aabbab=abab.

Donc, si a b et a et b de même signe (et non nuls) : d’une part a b ⩽ 0 et d’autre part, comme le produit de deux nombres de même signe est positif,

ab ⩾ 0, donc abab0. On a alors f(b) – f(a) ⩽ 0, soit f(a) ⩾ f(b).

La fonction inverse est impaire, car pour tout x ∈ ℝ, f(x)=1x=1x=f(x).

La courbe représentative de la fonction inverse a donc un centre de symétrie qui est l’origine du repère. Cette courbe s’appelle une hyperbole.

II Les hyperboles x1x et x1x

chap09_fiche38_i01

 

chap09_fiche38_i02

Méthode

1 Résoudre graphiquement des équations

chap09_fiche38_i03

Au vu des courbes ci-dessus, quelles sont les solutions des équations 1x=x2 et 1x=x2 ?

conseilS

Repérez les représentations graphiques des fonctions x x2, x1x et x1x.

solution

• La figure permet de résoudre l’équation 1x=x2. En effet les courbes 𝒞1 et 𝒞3 des fonctions x x2 et x1x se coupent en un seul point d’abscisse 1, solution unique de l’équation .

• De même, 𝒞1 et 𝒞2 se coupent en un point d’abscisse –1, solution de l’équation 1x=x2.

2 Résoudre graphiquement des inéquations

chap09_AJOUT02

Quelles sont les inéquations dont les parties hachurées peuvent représenter les solutions ?

conseilS

Repérez les fonctions représentées (voir cette fiche pour la courbe bleue).

solution

La courbe bleue est la cubique d’équation y = x3.

La courbe rouge représente l’hyperbole d’équation y=1x.

L’intervalle ]–∞ ; –1] est l’ensemble des nombres négatifs solutions de l’inéquation 1xx3 car, sur cet intervalle, l’hyperbole est au-dessus de la cubique. De même, l’intervalle ]0 ; 1] est l’ensemble des nombres strictement positifs solutions de l’inéquation 1xx3. Cette inéquation a donc pour solutions les nombres de l’ensemble ]–∞ ; –1] ∪ ]0 ; 1]. De même, l’inéquation 1x>x3 a pour solutions ]–∞ ; –1[ ∪ ]0 ; 1[, partie hachurée sur la figure.

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