La fonction inverse a pour courbe représentative une hyperbole. Elle a un centre de symétrie.
I Définition et propriétés
La fonction inverse est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par :
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]–∞ ; 0[ et décroissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
En effet, pour tous réels a et b non nuls :
.
Donc, si a ⩽ b et a et b de même signe (et non nuls) : d'une part a – b ⩽ 0 et d'autre part, comme le produit de deux nombres de même signe est positif,
ab ⩾ 0, donc . On a alors f(b) – f(a) ⩽ 0, soit f(a) ⩾ f(b).
La fonction inverse est impaire, car pour tout x ∈ ℝ, .
La courbe représentative de la fonction inverse a donc un centre de symétrie qui est l'origine du repère. Cette courbe s'appelle une hyperbole.
II Les hyperboles et
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1 Résoudre graphiquement des équations
Au vu des courbes ci-dessus, quelles sont les solutions des équations et ?
conseilS
Repérez les représentations graphiques des fonctions x ↦ x2, et .
solution
• La figure permet de résoudre l'équation . En effet les courbes 1 et 3 des fonctions x ↦ x2 et se coupent en un seul point d'abscisse 1, solution unique de l'équation .
• De même, 1 et 2 se coupent en un seul point d'abscisse –1, solution unique de l'équation .
2 Résoudre graphiquement des inéquations
Quelles sont les inéquations dont les parties hachurées peuvent représenter les solutions ?
conseilS
Repérez les fonctions représentées (voir cette fiche pour la courbe bleue).
solution
La courbe bleue est la cubique d'équation y = x3.
La courbe rouge représente l'hyperbole d'équation .
L'intervalle ]–∞ ; –1] est l'ensemble des nombres négatifs solutions de l'inéquation car, sur cet intervalle, l'hyperbole est au-dessus de la cubique. De même, l'intervalle ]0 ; 1] est l'ensemble des nombres strictement positifs solutions de l'inéquation . Cette inéquation a donc pour solutions les nombres de l'ensemble ]–∞ ; –1] ∪ ]0 ; 1]. De même, l'inéquation a pour solutions ]–∞ ; –1[ ∪ ]0 ; 1[, partie hachurée sur la figure.