À retenir

La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur $\left]0,+\infty \right[$ par : $x\mapsto y=\ln x$avec $x={\text{e}}^y$.

PROPRIÉTÉS

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel x :

ln (a × b) = ln a + ln b ;  ln $\left(\frac{1}{a}\right)$ = − ln a ;  ln $\left(\frac{a}{b}\right)$ = log a − log b ;

ln (aⁿ) = n ln a ;  ln ($\sqrt{a}$) = $\frac{1}{2}$ln a ;  ln (a^x) = x ln a .

À RETENIR

Pour tout nombre réel strictement positif x, log x = $\frac{ln x}{ln 10}$.

Théorème

La fonction logarithme népérien ln est dérivable sur son intervalle de définition ]0, + ∞[ et ln′(x) = $\frac{1}{x}$.

Théorème

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ ;  $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ ;  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien ln est strictement croissante sur son intervalle de définition ]0, + ∞[.

À RETENIR

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : a < b si et seulement si ln a < ln b ;

  a = b si et seulement si ln a = ln b.

Pour tout nombre réel strictement positif a : si 0 < a < 1, alors ln a < 0 ; si a > 1, alors ln a > 0.