Fonction logarithme népérien

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonction exponentielle de base e, fonction logarithme népérien

A Définition

DÉFINITION

Soit a un nombre réel strictement positif.

Le logarithme népérien de a, noté ln (a) ou plus simplement ln a, est le nombre b tel que eb = a.

EXEMPLES

• e0 = 1, donc ln= 0.

• e1 = e, donc ln e = 1.

À retenir

La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur 0, + par : xy=lnxavec x=ey.

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EXEMPLES

La touche Image dont le contenu est ln; Fin de l'image de la calculatrice, ou la fonction LN() d’un tableur permettent d’obtenir la valeur numérique de ln(x) pour tout x > 0 avec une précision suffisante.

Par exemple : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…

B Propriétés algébriques

Le logarithme népérien a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme décimal.

PROPRIÉTÉS

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel :

ln (a × b) = ln a + ln ;  ln 1a = ln a ;  ln ab = log a log;

ln (an) = n ln a ;  ln (a) = 12ln ;  ln (ax) = x ln a .

C Lien avec le logarithme décimal

PROPRIÉTÉ

Pour tout nombre réel strictement positif x, log x = ln xln 10.

D Variations et courbe représentative

Dérivée

PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien ln est dérivable sur son intervalle de définition ]0, + ∞[ et ln(x) = 1x.

Limites

Théorème

limx+lnx=+ ;  limx0 lnx= ;  limx+lnxx=0.

Tableau de variation et courbe représentative

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; – ∞; ; + ∞; Ligne 2 : f′(x) = 1x; ; +; ; Ligne 3 : f(x) = ln x; 0; ; + ∞;
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PROPRIÉTÉ

La fonction logarithme népérien ln est strictement croissante sur son intervalle de définition ]0, + ∞[.

Conséquences

À RETENIR

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : a < b si et seulement si ln a < ln b ;

  a = b si et seulement si ln a = ln b.

Pour tout nombre réel strictement positif a : si 0 < a < 1, alors ln a < 0 ; si a > 1, alors ln a > 0.

#quiz

Des questions pour réviser

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