La fonction racine carrée est définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ car on ne peut calculer la racine carrée d'un nombre qu'à la condition qu'il soit positif. Sa courbe se trouve donc dans le premier quadrant.
I Définition et propriétés
La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
La fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[.
En effet, pour tous réels a et b positifs et non tous les deux nuls :
.
Donc , car .
La question de la parité ne se pose pas pour la fonction racine carrée car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0. Elle n'est donc ni paire ni impaire.
II Représentation graphique
Le tableau de valeurs ci-dessous suggère qu'au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbe croissent très rapidement. C'est pourquoi, au voisinage de l'origine du repère, la courbe « part » très vite.
Remarque : Les valeurs de sont arrondies.
x |
0,05 |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,35 |
0,4 |
0,45 |
0,5 |
|
0,22 |
0,32 |
0,39 |
0,45 |
0,5 |
0,55 |
0,59 |
0,63 |
0,67 |
0,71 |
Montrer la symétrie des courbes y = x2 et
Le point P a pour abscisse x et appartient à la parabole et le point A à la droite Δ d'équation y = x. Le point R a pour abscisse xA et appartient à la courbe d'équation . Le point I est l'intersection de [RP] et de Δ.
1. Exprimer les coordonnées de A et de R en fonction de x.
2. Calculer AP et AR et en déduire que A appartient à la médiatrice de [RP].
3. Montrer que le milieu de [RP] appartient à Δ et en déduire que P et R sont symétriques a rapport à Δ.
conseilS
1. Remarquez que xA = yA.
2. Utilisez les formules de calcul de distances.
3. Calculez les coordonnées du milieu de [RP].
solution
1. Le point P a pour coordonnées (x ; x2). D'après la figure, yA = yP = x2, donc xA = x2 car Δ a pour équation y = x. D'où les coordonnées A(x2 ; x2).
De plus, xR = xA = x2 et car x ⩾ 0. D'où R(x2 ; x).
2. On a AP2 = (x – xA)2 = (x – x2)2 et AR2 = (yR – yA)2 = (x – x2)2. Il en résulte que AR = AP donc que A appartient à la médiatrice de [RP].
3. Soit J le milieu de [RP]. On a et . Donc yJ = xJ, ce qui prouve que J ∈ Δ. De plus, J ∈ Δ ∙ (RP) donc J = I. La droite (AI) est donc la médiatrice de [RP]. Il en résulte que les points P et R sont symétriques par rapport à Δ. Cela prouve la symétrie des deux courbes par rapport à Δ.