Fonction racine carrée

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence

La fonction racine carrée est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ car on ne peut calculer la racine carrée d’un nombre qu’à la condition qu’il soit positif. Sa courbe se trouve donc dans le premier quadrant.

I Définition et propriétés

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p241-274_C09_Groupe_Schema_5

La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

f(x)=x

La fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[.

En effet, pour tous réels a et b positifs et non tous les deux nuls :

ab=(ab)(a+b)a+b=(a)2(b)2a+b=aba+b.

Donc a<baba+b<0f(a)<f(b), car a+b>0.

La question de la parité ne se pose pas pour la fonction racine carrée car son ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0. Elle n’est donc ni paire ni impaire.

II Représentation graphique

chap09_fiche39_i01

Le tableau de valeur ci-dessous suggère qu’au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbes croissent très rapidement. C’est pourquoi, au voisinage de l’origine du repère, la courbe « part » très vite.

Remarque : Les valeurs de y=x sont arrondies.

x

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

x

0,22

0,32

0,39

0,45

0,5

0,55

0,59

0,63

0,67

0,71

Méthode

Montrer la symétrie des courbes y = x2 et y=x

chap09_fiche39_i02

Le point P a pour abscisse x et appartient à la parabole et le point A à la droite Δ d’équation y = x. Le point R a pour abscisse xA et appartient à la courbe d’équation y=x. Le point I est l’intersection de [RP] et de Δ.

1. Exprimer les coordonnées de A et de R en fonction de x.

2. Calculer AP et AR et en déduire que A appartient à la médiatrice de [RP].

3. Montrer que le milieu de [RP] appartient à Δ et en déduire que P et R sont symétriques a rapport à Δ.

conseilS

1. Remarquez que xA = yA.

2. Utilisez les formules de calcul de distances.

3. Calculez les coordonnées du milieu de [RP].

solution

1. Le point P a pour coordonnées (x ; x2). D’après la figure, yA = yP = x2, donc xA = x2 car Δ a pour équation y = x. D’où les coordonnées A(x2 ; x2).

De plus, xR = xA = x2 et yR=xR=x2=x car x  0. D’où R(x2 ; x).

2. On a AP2 = (x xA)2 = (x – x2)2 et AR2 = (yR – yA)2 = (x – x2)2. Il en résulte que AR = AP donc que A appartient à la médiatrice de [RP].

3. Soit J le milieu de [RP]. On a xJ=xP+xR2=x+x22 et AC09j-Eqn029. Donc yJ = xJ, ce qui prouve que J Δ. De plus, J Δ (RP) donc J = I. La droite (AI) est donc la médiatrice de [RP]. Il en résulte que les points P et R sont symétriques par rapport à Δ. Cela prouve la symétrie des deux courbes par rapport à Δ.