Les fonctions affines sont les plus simples à étudier et à représenter.

IDéfinition et caractéristiques

Une fonction f est affine s’il existe deux réels a et b tels que pour tout nombre réel x, on a :

$f\left(x\right)=ax+b.$

Remarques : La fonction f est constante si $a=0$ ; linéaire si $b=0$.

Variations

La fonction f est strictement décroissante si $a<0$.

La fonction f est strictement croissante si $a>0$.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b.

Construction : On trace la droite passant par le point $\text{B}\left(0;b\right)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(1;a\right)$.

Remarques : Si $a=0$, la droite est horizontale ; si $b=0$, elle passe par l’origine.

IIDétermination des coefficients d’une fonction affine

Soit a et b les coefficients de la fonction affine f définie sur ℝ par $f\left(x\right)=ax+b$.

Graphiquement, on détermine a et b :

soit à l’aide des coordonnées de deux points distincts A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) de sa représentation graphique : $a=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}$ et $b=y_{\text{A}}-a{x}_{\text{A}}$ ;

soit en lisant le coefficient directeur a tel que $\overrightarrow{u}\left(1;a\right)$ est un vecteur directeur de la droite, puis l’ordonnée à l’origine b, c’est-à-dire l’ordonnée du point d’abscisse 0 de la droite.

Algébriquement, on détermine a et b en connaissant les images de deux nombres réels distincts x₁ et x₂. On a alors :

$a=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ et $b=f\left(x_1\right)-a{x}_1$

Méthodes

1 Déterminer le sens de variation et le signe d’une fonction affine

On considère les fonctions affines f et g définies sur ℝ par :

$f\left(x\right)=-2x+1$ et $g\left(x\right)=4x+3$.

a. Déterminer les sens de variation de f et de g.

b. Étudier le signe de $f\left(x\right)$ et $g\left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

c. Représenter f et g dans un repère du plan et vérifier vos résultats.

Conseils

Vous pouvez commencer par tracer les deux droites représentant les fonctions affines. Les variations des fonctions se déduisent des signes des coefficients directeurs ; vous pourrez alors déterminer les réels qui annulent $f\left(x\right)$ et $g\left(x\right)$.

Solution

a. La fonction f est strictement décroissante et la fonction g est strictement croissante.

b. On a $f\left(x\right)=0$ si et seulement si $x=\frac{1}{2}$ et $g\left(x\right)=0$ si et seulement si $x=-\frac{3}{4}$.

c. La fonction f est représentée en bleu par la droite passant par le point $\text{B}\left(0;1\right)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(1;-2\right)$. La fonction g est représentée en rouge par la droite passant les points $\text{C}\left(0;3\right)$ et $\text{D}\left(-1;-1\right)$.

2 Déterminer une fonction affine dont on connaît une représentation graphique

Dans un repère du plan, on considère la droite ∆ passant par les deux points $\text{A}\left(-1;2\right)$ et $\text{B}\left(1;3\right).$

Déterminer la fonction affine f représentée par la droite ∆.

Conseils

Déterminez le coefficient directeur a de la droite puis déduisez-en l’autre coefficient b qui définit la fonction affine f.

Solution

On a tout d’abord $a=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\frac{3-2}{1-\left(-1\right)}=\frac{1}{2}$ et $b=y_{\text{A}}-a{x}_{\text{A}}=2-\frac{1}{2}\times \left(-1\right)=\frac{5}{2}$. Donc, pour tout réel x, $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.