Fiche de révision

Fonctions convexes


L'étude de la convexité d'une fonction permet d'apporter des précisions sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

I Convexité d'une fonction

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si la courbe Cf représentant f est située au-dessous de chacune de ses cordes.

À noter

On appelle corde de la courbe Cf représentant f tout segment AB où A et B sont deux points de Cf.

06468_C06_01

Remarque : Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I. Attention, si f n'est pas convexe sur I alors f n'est pas forcément concave sur I.

Définitions équivalentes : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit C sa courbe représentative.

f est convexe sur I si et seulement si C est au-dessus de ses tangentes.

f est convexe sur I si et seulement si f est croissante sur I.

II Dérivée seconde d'une fonction

Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f sa dérivée sur I. Si f est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de f sur I. On note cette dérivée seconde f.

Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f est positive sur I.

III Point d'inflexion d'une courbe

Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On appelle point d'inflexion de C, tout point de C en lequel f change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).

Théorèmes :

Soit a un réel de l'ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d'inflexion de C si et seulement si f s'annule et change de signe en a.

Si f est dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d'inflexion de C si et seulement si C traverse sa tangente en I.

Méthodes

1 Étudier la convexité d'une fonction

On considère la fonction f définie sur par fx=3x24x+1.

Étudier la convexité de f sur .

Conseils

Étudiez la dérivabilité de f et f sur et le signe de f.

Solution

f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur .

Pour tout x réel, on a fx=6x4 et fx=6.

fx>0 pour tout x réel, la fonction f est donc convexe sur .

2 Déterminer des points d'inflexion

Soit f la fonction définie sur par fx=2xx2+2 et soit C sa courbe représentative. Étudier l'existence éventuelle de points d'inflexion.

Conseils

Pour déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction f dérivable deux fois sur un intervalle I, il suffit de :

Étape 1 calculer fx ;

Étape 2 résoudre l'équation fx=0 ;

Étape 3 étudier le signe de fx et déterminer si f change de signe en chacune des éventuelles solutions de l'équation fx=0.

Solution

Étape 1 f est deux fois dérivable sur . Pour tout réel x :

fx=2x2+22x2xx2+22=2x2+4x2+22

et fx=4xx2+222x2+42×2xx2+2x2+24=4xx26x2+23.

Étape 2 fx=0 équivaut à : 4xx26=0, soit x=0 ou x2=6.

L'équation fx=0 a donc trois solutions : 0 ; 6 et 6.

La courbe possède au maximum trois points d'inflexion.

Étape 3 fx s'annule et change de signe en 6, en 0 et en 6. C admet donc trois points d'inflexion dont les abscisses sont 6, 0 et 6.

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; −∞; ; −6; ; 0; ; 6; ; +∞; Ligne 2 : f″x; ; −; 0; +; 0; −; 0; +; ;

Pour lire la suite

Je m'abonne

Et j'accède à l'ensemble
des contenus du site