L'étude de la convexité d'une fonction permet d'apporter des précisions sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

I Convexité d'une fonction

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si la courbe ${\mathcal{C}}_f$ représentant f est située au-dessous de chacune de ses cordes.

Remarque : Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I. Attention, si f n'est pas convexe sur I alors f n'est pas forcément concave sur I.

Définitions équivalentes : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

f est convexe sur I si et seulement si $\mathcal{C}$ est au-dessus de ses tangentes.

f est convexe sur I si et seulement si $f^{\prime }$ est croissante sur I.

II Dérivée seconde d'une fonction

Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et $f^{\prime }$ sa dérivée sur I. Si $f^{\prime }$ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de $f^{\prime }$ sur I. On note cette dérivée seconde $f^{″}$.

Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si $f^{″}$ est positive sur I.

III Point d'inflexion d'une courbe

Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On appelle point d'inflexion de $\mathcal{C}$, tout point de $\mathcal{C}$ en lequel f change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).

Théorèmes :

Soit a un réel de l'ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point $\text{I}\left(a ; f\left(a\right)\right)$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ si et seulement si $f^{″}$ s'annule et change de signe en a.

Si f est dérivable sur I, le point $\text{I}\left(a ; f\left(a\right)\right)$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ si et seulement si $\mathcal{C}$ traverse sa tangente en I.

Méthodes

1 Étudier la convexité d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\text{ℝ}$ par $f\left(x\right)=3x^2-4x+1$.

Étudier la convexité de f sur $\text{ℝ}.$

Conseils

Étudiez la dérivabilité de f et $f^{\prime }$ sur $\text{ℝ}$ et le signe de $f^{″}$.

Solution

f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur $\text{ℝ}$.

Pour tout x réel, on a $f^{\prime }\left(x\right)=6x-4$ et $f^{″}\left(x\right)=6$.

$f^{″}\left(x\right)>0$ pour tout x réel, la fonction f est donc convexe sur $\text{ℝ}$.

2 Déterminer des points d'inflexion

Soit f la fonction définie sur $\text{ℝ}$ par $f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+2}$ et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Étudier l'existence éventuelle de points d'inflexion.

Conseils

Pour déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction f dérivable deux fois sur un intervalle I, il suffit de :

Étape 1 calculer $f^{″}\left(x\right)$ ;

Étape 2 résoudre l'équation $f^{″}\left(x\right)=0 ;$

Étape 3 étudier le signe de $f^{″}\left(x\right)$ et déterminer si $f^{″}$ change de signe en chacune des éventuelles solutions de l'équation $f^{″}\left(x\right)=0$.

Solution

Étape 1 f est deux fois dérivable sur $\text{ℝ}$. Pour tout réel x :

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2\left(x^2+2\right)-2x\left(2x\right)}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{-2x^2+4}{{\left(x^2+2\right)}^2}$

et $f^{″}\left(x\right)=\frac{-4x{\left(x^2+2\right)}^2-\left(-2x^2+4\right)\left(2\times 2x\left(x^2+2\right)\right)}{{\left(x^2+2\right)}^4}=\frac{4x\left(x^2-6\right)}{{\left(x^2+2\right)}^3}$.

Étape 2 $f^{″}\left(x\right)=0$ équivaut à : $4x\left(x^2-6\right)=0$, soit $x=0\text{ ou }{x}^2=6$.

L'équation $f^{″}\left(x\right)=0$ a donc trois solutions : $0 ; \sqrt{6} \text{et }-\sqrt{6}$.

La courbe possède au maximum trois points d'inflexion.

Étape 3 $f^{″}\left(x\right)$ s'annule et change de signe en $-\sqrt{6}$, en 0 et en $\sqrt{6}$. $\mathcal{C}$ admet donc trois points d'inflexion dont les abscisses sont $-\sqrt{6}$, 0 et $\sqrt{6}$.