Fonctions exponentielles

A Extension de aⁿ

DÉFINITION

Soit a un nombre strictement positif fixé.

Il existe une fonction f définie et dérivable sur ℝ, notée f : x ↦ a^x, qui étend aux puissances non entières la définition et les propriétés algébriques des puissances entières.

La fonction f : x ↦ a^x est appelée fonction exponentielle (de base a).

La touche ou ou de la calculatrice permet d'obtenir les valeurs numériques de a^x avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale STMG.

EXEMPLES

Avec votre calculatrice, retrouver les valeurs approchées arrondies à 10^–2 suivantes :

(3,5)^1,6 ≈ 7,42 ; (1,06)^–1,5 ≈ 0,92 ; (0,98)^0,32 ≈ 0,99.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tout réel x, a^x > 0.

On admet que les propriétés algébriques des puissances entières s'étendent aux puissances non entières.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tous réels x et y :

a^x × a^y = a^x+y ;  (a^x)^y = a^xy ;  $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ ;  $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.

B Sens de variation et courbe représentative des fonctions x ↦ a^x

Sens de variation

Soit a un nombre strictement positif fixé.

• Si a > 1, la fonction exponentielle x ↦ a^xest strictement croissante sur ℝ.

• Si 0 a  1, la fonction exponentielle x ↦ a^x est strictement décroissante sur ℝ.

EXEMPLES

• La fonction x ↦ 10^x est strictement croissante sur ℝ.

• La fonction x ↦ (0,2)^x est strictement décroissante sur ℝ.

Courbe représentative

On obtient deux types de courbes représentatives selon que a > 1 ou que 0  a  1.

C Sens de variation des fonctions x ↦ ka^x

Soit a un nombre strictement positif fixé et soit k un nombre non nul fixé.

• Si k > 0, la fonction x ↦ ka^x a le même sens de variation que la fonction x ↦ a^x.

• Si k  0, la fonction x ↦ ka^x a le sens de variation contraire à celui de la fonction x ↦ a^x.

EXEMPLE

La fonction x ↦ (0,1)^x est strictement décroissante sur ℝ.

Donc la fonction x ↦ 4 × (0,1)^x est strictement décroissante sur ℝ et la fonction x ↦ – 5 × (0,1)^x est strictement croissante sur ℝ.

D Taux d'évolution moyen

t étant le taux d'évolution global pendant une certaine période,

le taux d'évolution moyen équivalent ${\text{t}}_{\text{m}}$ pendant une période n fois plus courte est défini par la relation :

$1+t_m={\left(1+t\right)}^{\frac{1}{n}}$.

EXEMPLE

Le chiffre d'affaires d'un magasin de téléphonie mobile a augmenté de 31 % en 4 ans. Le taux d'évolution moyen annuel équivalent au taux d'évolution de 31 % pour 4 ans, t_m, est défini par la relation : $1+t_m={\left(1+\mathrm{0,31}\right)}^{\frac{1}{4}}$, donc $1+t_m\approx \mathrm{1,07}$ et $t_m=\mathrm{0,07}=7\%$.