Fonctions exponentielles

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Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonctions exponentielles. Fonction logarithme décimal

Fonctions exponentielles

Fonction logarithme décimal

1Fonctions exponentielles x ax

A Extension de an

Définition

Soit a un nombre strictement positif fixé.

Il existe une fonction f définie et dérivable sur , notée f : xax, qui étend aux puissances non entières la définition et les propriétés algébriques des puissances entières.

La fonction f : xax est appelée fonction exponentielle (de base a).

La touche ^ ou xy de la calculatrice permet d’obtenir les valeurs numériques de ax avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale ST2S.

Exemples

Avec votre calculatrice, retrouver les valeurs approchées arrondies à 10–2 suivantes :

(3,5)1,6 ≈ 7,42 ; (1,06)–1,5 ≈ 0,92 ; (0,98)0,32 ≈ 0,99.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tout réel x, ax > 0.

On admet que les propriétés algébriques des puissances entières s’étendent aux puissances non entières.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tous réels x et y :

ax × ay = ax+y ; (ax)y = axy ; ax=1ax ; axay=axy.

B Sens de variation et courbe représentative des fonctions x  ax

Sens de variation

Soit a un nombre strictement positif fixé.

• Si a > 1, la fonction exponentielle xax est strictement croissante sur .

• Si 0 < a < 1, la fonction exponentielle xax est strictement décroissante sur .

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_20

Exemples

• La fonction x ↦ 10x est strictement croissante sur .

• La fonction x ↦ (0,2)x est strictement décroissante sur .

Courbe représentative

On obtient deux types de courbes représentatives selon que a > 1 ou que 0 < a < 1.

Maths_C06_01

C Sens de variation des fonctions x kax

Soit a un nombre strictement positif fixé et soit k un nombre non nul fixé.

• Si k > 0, la fonction xkax a le même sens de variation que la fonction xax.

• Si k < 0, la fonction xkax a le sens de variation contraire à celui de la fonction xax.

Exemple

Ces résultats ne sont pas exigibles.

La fonction x ↦ (0,1)x est strictement décroissante sur .

Donc la fonction x ↦ 4 × (0,1)x est strictement décroissante sur et la fonction x ↦ – 5 × (0,1)x est strictement croissante sur .

2Fonctions logarithme décimal

A Définition

Le logarithme décimal d’un nombre réel strictement positif a est le nombre réel b tel que 10b = a.

Il est noté log a.

En particulier log 1 = 0 et log 10 = 1.

On a donc :

Pour tout nombre réel strictement positif a :

b = log a si et seulement si : a = 10b.

Interprétation graphique :

Maths_C06_02

B Obtenir une valeur approchée de log a

La touche log de la calculatrice ou la fonction log 10() d’un tableur permet d’obtenir les valeurs numériques de log a avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale ST2S.

Exemples

Retrouver avec votre calculatrice les valeurs approchées suivantes :

log 2 ≈ 0,30103 ; log (0,5) ≈ – 0,30103 ; log 3 ≈ 0,47712 ; log 6 ≈ 0,77815.

C Courbe représentative de la fonction logarithme décimal

Maths_C06_03La courbe représentative de la fonction x ↦ log x peut être obtenue facilement avec la calculatrice graphique.

Le résultat suivant s’interprète immédiatement sur la figure :

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, a ≤ b si et seulement si :

log a ≤ log b.

Conséquence

• Pour tout nombre réel a tel que :

0 ≤ a ≤ 1, log a ≤ 0 ;

• Pour tout nombre réel a tel que :

a > 1, log a > 0.

D Propriétés algébriques

• Soit a et b deux nombres réels strictement positifs.

Les calculatrices n’existent que depuis une quarantaine d’années. Avant, on faisait les calculs « compliqués » à l’aide de tables, donnant des valeurs approchées de la fonction logarithme décimal et en utilisant ces propriétés.

log (ab) = log a + log b ;

log1a=loga ;

logab=logalogb ;

• Soit a un nombre réel strictement positif et x un nombre réel.

log (ax) = xlog a.

3Exemples de résolution d’équations ou d’inéquations du type axb, axb, log xb

A Exemple de résolution d’équation de la forme axb

Énoncé

On étudie le nombre de bactéries contenues dans un organisme à la suite d’un EIG (Événement indésirable grave). Ce nombre est donné en fonction du temps x, exprimé en heures, par f(x) = 10 000 (1,05)x, où f est une fonction définie sur [0,10].

On se propose de déterminer au bout de combien d’heures le nombre de bactéries a augmenté de 20 %, c’est-à-dire est égal à 10000×1+20100=10000×1,2=12000.

On cherche donc x tel que : 10 000 (1,05)x = 12 000, notons (E) cette équation.

L’équation (E) est équivalente à : (1,05)x=1200010000 ; (1,05)x = 1,2.

Méthode

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_19

Solution

log [(1,05)x] = log (1,2) ; xlog (1,05) = log (1,2) ; x=log(1,2)log(1,05).

log(1,2)log(1,05)3,74.

On en déduit que le nombre de bactéries aura augmenté de 20 % au bout de 4 heures.

B Exemple de résolution d’inéquation de la forme axb

Énoncé

On a injecté 1 cm3 d’un médicament à un patient à l’instant t = 0. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient à l’instant t = 0 est q(t) = (0,8)t, avec t appartenant à l’intervalle [0, 10].

On se propose de déterminer au bout de combien d’heures la quantité de médicament présente dans le sang sera inférieure à 0,5 cm3. D’où l’inéquation q(t) < 0,5, qui est équivalent à (0,8)t < 0,5.

Méthode

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_18

Solution

log [(0,8)t] < log (0,5) ; tlog (0,8) < log (0,5) ;

0,8 < 1 d’où log (0,8) < 0 ; d’où t>log(0,5)log(0,8).

Or, log(0,5)log(0,8)3,11.

Nous en déduisons que la quantité de médicament présente dans le sang sera inférieure à 0,5 cm3 au bout de 4 heures.

C Exemple de résolution d’équation de la forme log xb

Énoncé

Le niveau d’intensité acoustique est défini par L=10logII0 où I est l’intensité du son étudié, exprimé en Watt par m–2, et I0 est une intensité acoustique de référence. On choisit le plus souvent I0 = 10–12 Watts par m–2, qui est le seuil d’audibilité.

L s’exprime en décibels (dB). Le seuil de la douleur est atteint pour N = 120 dB. On se propose de déterminer dans ce cas l’expression de I en fonction de I0.

On cherche donc II0 tel que 10logII0=120, équation qui est équivalente à : logII0=12010 ; logII0=12.

Méthode

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_17

Solution

II0=1012, I = 1012 I0.

Quelques exemples de niveaux d’intensité acoustique (en décibel).

Maths_C06_04b