Fonctions exponentielles

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles

1Fonction exponentielle

A Définition et notation

Définition

La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui a tout nombre réel x associe le nombre strictement positif unique y tel que x = ln (y).

Pour tout x de ,

exp : xy = exp (x) si et seulement si x = ln (y).

Exemple : exp 0 = 1 ; exp 1 = e.

À l’aide d’une calculatrice, découvrez e1,32, e–0,7.

Notation e x

• Pour tout nombre réel x, exp xex.

• Pour tout nombre réel x, ln (ex) = x.

• Pour tout nombre réel a > 0, eln (a)a.

B Relations fonctionnelles

Pour tous nombres réels a et b,

Les règles de calcul sont les mêmes qu’avec les puissances entières de nombres réels.

ea+bea × eb ;

ea=1ea et eab=eaeb ;

• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, (ea)nena.

C Étude des variations, courbe représentative

Dérivée

Si pour tout x de , f(x) = ex alors f(x) = ex.

Sens de variation

Pour tout nombre réel x, ex > 0.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

De 11515_Math_449, on déduit que l’axe

des abscisses (d’équation y = 0) est asymptote horizontale de la courbe représentative de exp en – .

Limites de ex en – et en +

limxex=0 et limx+ex=+.

Tableau de variation et courbe représentative

Les courbes représentatives de exp et ln se correspondent dans la symétrie d’axe la droite d’équation y = x.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_13

11515_Maths_07_01

2Fonction de la forme eu

Dérivée de eu

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et :

(eu) = ueu.

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(t)=e2t+1.

f(t)=eu(t) avec u(t)=2t+1, donc u(t)=2.

Pour tout t de , f(t)=u(t)eu(t), c'est-à-dire : f(t)=2e2t+1.

Primitives de ueu

Si sur un intervalle I une fonction f est telle que f(x) = u′(x)eu(x) alors les primitives F de f sur I sont définies par : F(x) = eu(x) + C (C étant une constante réelle quelconque).

Exemple

Déterminons les primitives de la fonction f définie sur par f(x) = e3x.

f « ressemble à » ueu avec u(x) = 3x et u′(x) = 3.

Nous sommes donc conduits à écrire : f(x)=13(3e3x).

Les primitives de f sont donc définies sur par F(x)=13e3x+CC est une constante réelle quelconque.

3Fonction exponentielle de base a

Les propriétés de la fonction exponentielle de base a se déduisent de celles des fonctions exp et ln.

La fonction définie sur par xax = exlna est appelée fonction exponentielle de base a.

4Fonctions puissances

Les propriétés des fonctions puissances se déduisent de celles des fonctions exp et ln.

Soit α un nombre réel.

On appelle fonction « puissance α » la fonction fα définie sur ]0, + ∞[ par fα(x) = xα = eαlnx.

5Autres limites

On ne peut pas conclure pour 11515_Math_468 à partir de 11515_Math_466

et 11515_Math_467 et à l’aide du

théorème sur la limite d’une somme du d’où la nécessité de transformer l’écriture de f(x). Ces transformations sont souvent données dans les sujets de baccalauréat.

A Limites de exx et exxn en +

limx+exx=+.

Pour tout nombre entier naturel n, limx+exxn=+.

Exemple

Soit f la fonction définie par f(x) = exx2.

On cherche limx+f(x). On met f(x) sous la forme f(x)=x2exx21 pour pouvoir appliquer un des résultats précédents.

De limx+exx2=+, on déduit que limx+exx21=+.

De limx+x2=+ et limx+exx21=+, on déduit que : limx+x2×exx21=+, c’est-à-dire : limx+f(x)=+.

B Limites de eu

Si limxau(x)=b et si limxbex=c, alors limxaeu(x)=c.

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(t) = e–2t.

a) On cherche limtf(t).

Pour tout réel t, f(t) = eu(t), avec u(t) = – 2t.

limtu(t)=limt2t=+.

limtu(t)=+etlimt+et=+, donc limtf(t)=+, car f(t)=eu(t).

b) On cherche limt+f(t).

limtu(t)=limt+2t=.

limt+u(t)=etlimtet=0, donc limt+f(t)=0, car f(t)=eu(t).