Fonctions exponentielles

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Fiches
Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Fonctions exponentielles, logarithme décimal, inverse

A Extension de an

DÉFINITION

Soit a un nombre strictement positif fixé.

Il existe une fonction f définie et dérivable sur , notée f : xax, qui étend aux puissances non entières la définition et les propriétés algébriques des puissances entières.

La fonction f : xax est appelée fonction exponentielle (de base a).

La touche Image dont le contenu est ^; Fin de l'image ou Image dont le contenu est xy; Fin de l'image ou Image dont le contenu est yx; Fin de l'image de la calculatrice permet d’obtenir les valeurs numériques de ax avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale STMG.

EXEMPLES

Avec votre calculatrice, retrouver les valeurs approchées arrondies à 10–2 suivantes :

(3,5)1,6 ≈ 7,42 ; (1,06)–1,5 ≈ 0,92 ; (0,98)0,32 ≈ 0,99.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tout réel x, ax > 0.

On admet que les propriétés algébriques des puissances entières s’étendent aux puissances non entières.

Soit a un nombre strictement positif fixé. Pour tous réels x et y :

ax × ay = ax+y ;  (ax)y = axy ;  ax=1ax ;  axay=axy.

B Sens de variation et courbe représentative des fonctions xax

Sens de variation

Soit a un nombre strictement positif fixé.

• Si a > 1, la fonction exponentielle xaxest strictement croissante sur ℝ.

• Si 0 < a < 1, la fonction exponentielle xax est strictement décroissante sur ℝ.

Image dont le contenu est 	a > 1	0 < a < 1x– ∞+ ∞x– ∞+ ∞Variation de x ↦ axVariation de x ↦ ax; Fin de l'image

EXEMPLES

• La fonction x ↦ 10x est strictement croissante sur ℝ.

• La fonction x ↦ (0,2)x est strictement décroissante sur ℝ.

Courbe représentative

On obtient deux types de courbes représentatives selon que a > 1 ou que 0 < a < 1.

Maths_C06_01

C Sens de variation des fonctions xkax

Soit a un nombre strictement positif fixé et soit k un nombre non nul fixé.

• Si k > 0, la fonction xkax a le même sens de variation que la fonction xax.

• Si k < 0, la fonction xkax a le sens de variation contraire à celui de la fonction xax.

EXEMPLE

La fonction x ↦ (0,1)x est strictement décroissante sur ℝ.

Donc la fonction x ↦ 4 × (0,1)x est strictement décroissante sur ℝ et la fonction x ↦ – 5 × (0,1)x est strictement croissante sur ℝ.

D Taux d’évolution moyen

t étant le taux d’évolution global pendant une certaine période,

le taux d’évolution moyen équivalent tm pendant une période n fois plus courte est défini par la relation :

1+tm=1+t1n.

EXEMPLE

Le chiffre d’affaires d’un magasin de téléphonie mobile a augmenté de 31 % en 4 ans. Le taux d’évolution moyen annuel équivalent au taux d’évolution de 31 % pour 4 ans, tm, est défini par la relation : 1+tm=1+0,3114, donc 1+tm1,07 et tm=0,07=7 %.