Première générale Maths (tronc commun) Modèles continus et fonctions

Les fonctions exponentielles sont particulièrement bien adaptées à l’étude de phénomènes comme la radioactivité ou la diffusion d’une épidémie.

IDéfinition

Soit $a$ un nombre réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est définie pour tout réel positif x comme prolongement de la suite géométrique de terme général aⁿ $(n \in ℕ)$ .

IIPropriétés algébriques

Soit a un nombre réel strictement positif. Pour tous réels x et y positifs on a :

$• a^{x + y} = a^{x} \times a^{y} • a^{- x} = \frac{1}{a^{x}} • a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$

$• a^{n x} = {(a^{x})}^{n} pour tout entier n$

En particulier :

$• a^{0} = 1 • a^{1} = a • a^{- 1} = \frac{1}{a}$

Soit $b$ un nombre réel strictement positif : ${(a b)}^{x} = a^{x} \times b^{x}$ et ${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$ .

IIIApplication à la racine n-ième : $a = \frac{1}{n}$

Définition : Soit n un entier supérieur à 1 et x un réel positif.

Le nombre $x^{\frac{1}{n}}$ est le réel b positif tel que $b^{n} = x$ . Par exemple, $x^{\frac{1}{2}}$ est la racine carrée du réel x.

Application au taux moyen : On considère n évolutions successives à des taux t₁, t₂, …, t_n d’une quantité initiale Q₀ ; on note Q_n la quantité finalement obtenue.

On a alors $Q_{n} = (1 + t_{1}) \times (1 + t_{2}) \times \dots \times (1 + t_{n}) Q_{0}$ .

On appelle taux d’évolution moyen le taux t_M, qu’il faut appliquer n fois à la valeur initiale Q₀ pour obtenir la valeur finale Q_n. Ainsi $Q_{n} = {(1 + t_{M})}^{n} Q_{0}$ .

En notant C le coefficient multiplicateur tel que $Q_{n} = C \times Q_{0}$ , on a :

${(1 + t_{M})}^{n} = C$ soit $t_{M} = C^{\frac{1}{n}} - 1$ .

On peut également écrire :

$1 + t_{M} = {((1 + t_{1}) \times (1 + t_{2}) \times \dots \times (1 + t_{n}))}^{\frac{1}{n}}$ .

Remarque

Suivant qu’il y a augmentation ou diminution, les taux $t_{i}$ peuvent être des nombres positifs ou négatifs.

Méthodes

1 Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles

Simplifier les expressions suivantes en les exprimant sous forme d’une seule puissance. Puis les calculer sans calculatrice.

$A = 4^{1,5} \times 4^{0,5}$ ; $B = {(2^{\frac{1}{3}})}^{9}$ ; $C = \frac{9^{2,5}}{9^{3,5}}$ et $D = 8^{0,5} \times {0,5}^{0,5}$ .

Conseils

Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles sont identiques à celles des puissances entières de nombre réel et on rappelle que $a^{0,5} = \sqrt{a}$ pour $a \geq 0$ .

Solution

On a $4^{1,5} \times 4^{0,5} = 4^{1,5 + 0,5} = 4^{2}$ donc $A = 16$ .

Comme ${(2^{\frac{1}{3}})}^{9} = 2^{\frac{1}{3} \times 9} = 2^{3}$ alors $B = 8$ .

En utilisant la propriété $a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$ , il vient $\frac{9^{2,5}}{9^{3,5}} = 9^{- 1}$ donc $C = \frac{1}{9}$ .

Avec ${(a b)}^{x} = a^{x} \times b^{x}$ , $8^{0,5} \times {0,5}^{0,5} = {(8 \times 0,5)}^{0,5} = 4^{0,5}$ donc $D = 2$ .

2 Calculer un taux moyen d’évolution

a. Les taux d’évolution annuels en bourse du cours des actions d’une entreprise ces 4 dernières années sont successivement : +3,2 % ; −5,4 % ; +1,1 % et 0,5 %.

Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de ces actions ces 4 dernières années en arrondissant à 0,1 %.

b. Le nombre d’abonnés d’une revue a augmenté de 100 % en dix ans. Quel est le taux moyen d’augmentation de ce nombre par année ? On arrondira à 0,1 %.

Conseils

On rappelle qu’augmenter (respectivement diminuer) d’un taux t revient à multiplier par 1 + t (respectivement par 1 − t).

Solution

a. En 4 ans, les actions ont été multipliées par 1,032 × 0,946 × 1,011 × 1,005. D’autre part, ${(1,032 \times 0,946 \times 1,011 \times 1,005)}^{1 / 4}$ vaut 0,998 arrondi au millième et $0,998 - 1 = - 0,002$ , donc le taux moyen d’évolution est de − 0,2 % en arrondissant à 0,1 %. La valeur des actions a donc un peu diminuée.

b. Le nombre d’abonnés ayant augmenté de 100 %, cela signifie que celui-ci a doublé, donc que C = 2. Or $2^{\frac{1}{10}} \approx 1,0718$ donc le taux d’évolution moyen par année est 7,2 % arrondi à 0,1 %.

Fonctions exponentielles : définition, propriétés algébriques

IDéfinition

IIPropriétés algébriques

IIIApplication à la racine n-ième : $a = \frac{1}{n}$

Remarque

Méthodes

1 Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles

Conseils

Solution

2 Calculer un taux moyen d’évolution

Conseils

Solution

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Fonctions exponentielles : définition, propriétés algébriques

IDéfinition

IIPropriétés algébriques

IIIApplication à la racine n-ième : a=1n

Remarque

Méthodes

1 Utiliser les propriétés algébriques des fonctions exponentielles

Conseils

Solution

2 Calculer un taux moyen d’évolution

Conseils

Solution

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IIIApplication à la racine n-ième : $a = \frac{1}{n}$