A Définition

DÉFINITION

Le logarithme décimal d'un nombre réel strictement positif a est le nombre réel b tel que 10^b = a.

EXEMPLES

10⁰ = 1, donc log 1 = 0 ; 10¹ = 10, donc log 10 = 1.

Fonction logarithme décimal

Associons à tout nombre réel strictement positif x le nombre réel log (x) :

on définit la fonction logarithme décimal notée log : $x\mapsto \log \left(x\right)$ définie sur l'intervalle $\left]0,+\infty \right[$ et à valeurs dans ℝ.

Obtenir une valeur approchée de log a

La touche de la calculatrice ou la fonction log 10() d'un tableur permet d'obtenir les valeurs numériques de log a avec une précision suffisante pour les situations étudiées en Terminale professionnelle.

EXEMPLES

Retrouver avec votre calculatrice les valeurs approchées suivantes :

log 2 ≈ 0,30103 ; log (0,5) ≈ – 0,30103 ; log 3 ≈ 0,47712 ; log 6 ≈ 0,77815.

B Sens de variation et courbe représentative

On admet que la fonction logarithme décimal, notée log, est strictement croissante sur son intervalle de définition $\left]0,+\infty \right[$.

La courbe représentative de la fonction x ↦ log x peut être obtenue facilement avec une calculatrice graphique ou un tableur.

Le résultat suivant s'interprète immédiatement sur la figure :

pour tous nombres réels strictement positifs a et b, a ≤ b si et seulement si

log a ≤ log b.

Conséquence

Pour tout nombre réel strictement positif a :

• si 0 ≤ a ≤ 1, alors log a ≤ 0 ;

• si a > 1, alors log a > 0.

C Propriétés algébriques

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel x :

$\log \left(a\times b\right)=\log a+\log b$ ; $\log \left(\frac{1}{a}\right)=-\log a$ ; $\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log a-\log b$ ; $\log \left(a^n\right)=n\log a$ ; $\log \left(a^x\right)=x\log a$.