Fonctions logarithmes

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes

1Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la primitive de x1x sur ]0, + ∞[ qui prend la valeur 0 pour x = 1.

NOTATION : xlnx.

ln1 = 0 ; ln(x)=1x ; une primitive sur ]0, + ∞[ de x1x est xlnx.

Exemples

Avec la touche ln de la calculatrice, on lit : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…

2Relations fonctionnelles

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b :

lnab = lna + ln b ;

pour tout nombre entier relatif n, ln(an) = nlna ;

ln1a=ln(a) ; lnab=lnalnb ;

lna=12lna.

3Étude des variations et courbe représentative

A Limites usuelles

limx0lnx= ; limx+lnx=+.

limx+lnxx=0 ; limx+lnxxn=0, avec n entier naturel non nul.

B Variations et courbe représentative

11515_Maths_06_01

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_14

CONSÉQUENCES

lna  lnb si et seulement si a  b.

La calculatrice donne e 2,718…

Il existe un nombre réel noté e tel que lne = 1.

(e est le nombre e^(1) sur la calculatrice.)

• L’axe des ordonnées est une asymptote verticale.

4Fonction de la forme lnu

Dérivée de lnu

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f(x) = ln(u(x)) est dérivable sur I et f(x)=u(x)u(x).

Exemple

Soit f la fonction définie sur 12,+ par : f(x) = ln (2x + 1).

Si on note u(x) = 2x + 1, u(x) = 2.

Pour tout x de 12,+, f(x)=22x+1.

Primitives de uu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que pour tout élément x de I, u(x) > 0.

Les primitives de la fonction f définie sur I par f(x)=u(x)u(x) sont définies sur I par :

F(x) = ln [u(x)] + C, où C est une constante réelle.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]– 3, + ∞[ par f(x)=1x+3.

En posant u(x) = x + 3, nous avons u′(x) = 1, et f(x)=u(x)u(x). Pour tout x de ]– 3, + ∞[, u(x) > 0.

Les primitives de f sur ]– 3, + ∞[ sont donc définies par F(x) = ln (x + 3) + CC est une constante réelle.

5Fonction logarithme décimal

La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, définie sur ]0 ; + ∞[ pour : logx=lnxln10.

Exemples

• Avec la touche 12050_log de la calculatrice, on lit : log 2 ≈ 0,30.

• log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log 102 = 2 ; log 10n = n.