Les propriétés et les lois de l'algèbre de Boole sont utiles pour travailler sur des fonctions plus complexes combinant les opérations fondamentales de l'algèbre booléenne.
I Les lois de l'algèbre de Boole
Les lois suivantes sont facilement démontrables à l'aide de tables de vérités.
| Propriété | Signification |
| Commutativité | x | y = y | x et x & y = y & x |
| Associativité | x | (y | z) = (x | y) | z et x & (y & z) = x & (y & z) |
| Distributivité | x & (y | z) = (x & y) | (x & z) et x | (y & z) = (x | y) & (x | z) |
| Élément neutre | x | F = x et x & V = x |
| Élément absorbant | x & F = F |
| Involution | ~(~x) = x |
| Tiers-exclus | ~x | x = V |
| Non-contradiction | ~x & x = F |
| Idempotence | x & x = x et x | x = x |
| Lois de De Morgan | ~(x | y) = ~x & ~y et ~(x & y) = ~x | ~y |
II Les fonctions composées
Toutes les opérations booléennes peuvent s'écrire en n'utilisant que les trois opérateurs &, | et ~. Mais en pratique on utilise aussi d'autres fonctions logiques, qui s'obtiennent à partir des opérations fondamentales.
1 Disjonction exclusive (ou exclusif, xor)
x ^ y = (x & ~y) | (~x & y)
2 Non Et (nand)
x ↑ y = ~(x & y)
3 Non Ou (nor)
x ↓ y = ~(x | y)
à noter
On peut montrer que toutes les fonctions logiques précédentes peuvent s'obtenir à partir de la seule fonction Nand.
III Opérations bit à bit
On peut généraliser les opérations précédentes à des chaînes de bits.
Exemples :
| Addition posée | Avec Python |
| 1011011 & 1010101 -------------------- 1010001 | >>> bin(0b1011011 & 0b1010101) '0b1010001' |
| 1011011 | 1010101 -------------------- 1011111 | >>> bin(0b1011011 | 0b1010101) '0b1011111' |
| 1011011 ^ 1010101 -------------------- 0001110 | >>> bin(0b1011011 ^ 0b1010101) '0b1110' |