Fonctions paires et impaires

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Généralités sur les fonctions

Les courbes de fonctions peuvent présenter des symétries que l’on décèle en effectuant des tests sur les expressions algébriques des fonctions. Cela permet d’économiser le temps passé à leur étude.

I Définitions

On note Df l’ensemble de définition d’une fonction f, c’est-à-dire l’ensemble de tous les réels qui ont une image par f.

Une fonction paire est une fonction f qui a la propriété suivante :

pour tout x Df , f(–x) = f(x)

Une fonction impaire est une fonction f qui a la propriété suivante :

pour tout x Df , f(–x) = –f(x)

Examiner la parité d’une fonction consiste à savoir si elle est paire ou impaire.

Remarque : L’ensemble de définition de f doit être symétrique par rapport à 0 car pour pouvoir appliquer le test de parité il faut que l’on puisse calculer à la fois f(x) et f(–x).

À noter

(–x)2 = (–x) × (–x) = x2 ⩾ 0 et –x2 = –(x × x) ⩽ 0.

Exemples : • La fonction carré définie sur ℝ par f(x) = x2 est paire. En effet : f(–x) = (–x)2x2 = f(x).

• La fonction cube définie sur ℝ par f(x) = x3 est impaire. En effet : f(–x) = (–x)3 = – x3 = –f(x),

car (–x)3 = (–x)(–x)(–x) = –x × x × x = –x3.

II Interprétation géométrique

La courbe représentant une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

La courbe représentant une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

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Méthode

Déterminer graphiquement si une fonction est paire ou impaire

Soit a et b deux réels. On sait que la distance de a à b, notée d(a, b) est égale à |b a|. On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = d(x, –1) + d(x, 1).

a. Exprimer f(x) à l’aide de valeurs absolues.

b. Montrer que si x [–1 ; 1] alors f(x) est constante.

c. Montrer que si x ⩾ 1, alors f(x)={2+2|x+1|,  si12+2|x1|,  si x1.

d. Tracer la courbe représentant f et en déduire la parité de cette dernière.

conseilS

a. Il suffit d’interpréter la distance en termes de valeur absolue.

b. Faire un schéma sur la droite réelle.

c. Examiner d’abord le cas où x ⩽ –1 et faire un schéma sur la droite réelle, puis raisonner en termes de distance. Procéder de même si x ⩾ 1.

d. Exprimer f(x) sans symbole de valeur absolue et tracer les fonctions affines correspondantes sur les intervalles ]–∞ ; – 1], [– 1 ; 1] et [1 ; +∞[.

solution

a. Par définition : f(x) = |x + 1| + |x – 1|.

b. Le schéma ci-dessous montre que si x [– 1 ; 1] alors :

d(x, –1) + d(x, 1) = 2 donc f(x) = 2.

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c. La figure ci-dessous montre que si x ⩽ –1 alors f(x) = 2d(x, –1) + 2 donc f(x) = 2|x + 1| + 2. On aurait de même f(x) = 2|x – 1| + 2 si x ⩾ 1.

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d. De plus, si x ⩽ –1, d(x, –1) = –1 – x et si x ⩾ 1 d(x, 1) = x – 1. Finalement :

chap08_fiche34_i05

f(x)={22x+2=2x, si x12, si x  [1 ; 1]2x2+2=2x, si x1

On obtient donc la représentation de deux demi-droites et d’un segment comme indiqué. La fonction f est paire puisque sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.