Fonctions polynômes de degré 2

Dans tout ce qui suit, a et b sont des constantes réelles avec a ≠ 0.

La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

A Fonctions $x\mapsto a{x}^2$

Le sens de variation des fonctions $f:x\mapsto a{x}^2$ est donné par les tableaux suivants :

f admet pour minimum f(0) = 0.

f admet pour maximum f(0) = 0.

La représentation graphique d'une fonction $x\mapsto a{x}^2$ admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.

Les représentations graphiques des fonctions $f:x\mapsto a{x}^2$ et $g:x\mapsto -a{x}^2$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

EXEMPLE

Sur la figure ci-contre, figurent les représentations graphiques des fonctions $f:x\mapsto a{x}^2$, avec : $a=-2$, $a=-1$, $a=-\frac{1}{4}$, $a=\frac{1}{4}$, $a=1$, $a=2$.

B Fonctions $x\mapsto a{x}^2+b$

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i}\text{},\overrightarrow{j})$, la représentation graphique de la fonction $x\mapsto a{x}^2+b$ est la transformée par la translation de vecteur $b\overrightarrow{j}$ de la représentation graphique de la fonction $x\mapsto a{x}^2$.

EXEMPLE

Sur la figure ci-contre, les représentations graphiques d'équations $y=\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,5}$ et $y=\mathrm{1,2}{x}^2-2$ sont respectivement les transformées par les translations de vecteur $\mathrm{1,5}\overrightarrow{j}$ et $-2\overrightarrow{j}$ de la représentation graphique d'équation $y=\mathrm{1,2}{x}^2$.

C Fonctions $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$

La représentation graphique de la fonction $x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ est une parabole ayant pour axe de symétrie la parallèle à l'axe des ordonnées coupant l'axe des abscisses au point d'abscisse $\frac{x_1+x_2}{2}$.

Le sommet de cette parabole est le point (de la parabole) d'abscisse $\frac{x_1+x_2}{2}$.