Fonctions polynômes de degré 2

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Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Fonctions de la variable réelle

Dans tout ce qui suit, a et b sont des constantes réelles avec a ≠ 0.

La représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

A Fonctions xax2

Le sens de variation des fonctions f:xax2 est donné par les tableaux suivants :

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Cas où a > 0; Ligne 2 : x; − ∞; 0; + ∞; Ligne 3 : f(x)=ax2; 0;

f admet pour minimum f(0) = 0.

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Cas où a < 0; Ligne 2 : x; − ∞; 0; + ∞; Ligne 3 : f(x)=ax2; 0;

f admet pour maximum f(0) = 0.

La représentation graphique d’une fonction xax2 admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

Les représentations graphiques des fonctions f:xax2 et g:xax2 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

EXEMPLE

Sur la figure ci-contre, figurent les représentations graphiques des fonctions f:xax2, avec : a=2, a=1, a=14, a=14, a=1, a=2.

15400_C02_20_stdi

B Fonctions xax2+b

Dans un repère (O;i,j), la représentation graphique de la fonction xax2+b est la transformée par la translation de vecteur bj de la représentation graphique de la fonction xax2.

EXEMPLE

Sur la figure ci-contre, les représentations graphiques d’équations y=1,2x2+1,5 et y=1,2x22 sont respectivement les transformées par les translations de vecteur 1,5j et 2j de la représentation graphique d’équation y=1,2x2.

15400_C02_24_stdi

C Fonctions xa(xx1)(xx2)

La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2) est une parabole ayant pour axe de symétrie la parallèle à l’axe des ordonnées coupant l’axe des abscisses au point d’abscisse x1+x22.

Le sommet de cette parabole est le point (de la parabole) d’abscisse x1+x22.

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