Les représentations graphiques de deux fonctions peuvent être symétriques par rapport à la droite y = x. Cela permet d'en déduire certaines propriétés.

I Fonction réciproque

Théorème : Si une fonction f est continue et strictement croissante (resp. ­décroissante) sur un intervalle I = [a ; b], alors la fonction réciproque de f, notée f  ⁻¹, est définie, continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur f(I) = [f(a) ; f(b)] (resp. [f(b) ; f(a)]).

Remarque : Ce théorème se généralise au cas où l'intervalle est ouvert, semi-­ouvert, ou avec une borne infinie ; dans ce dernier cas, on remplace f(a) ou f(b) par $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right).$ D'une manière générale, on admettra que si f est continue et strictement monotone sur I, les intervalles I et f(I) sont de même nature.

Interprétation : Pour déterminer la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I, il suffit d'exprimer x en fonction de y, à partir de y = f(x).

II Représentation graphique d'une fonction ­réciproque

Théorème : Les courbes représentant deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Exemple : f : x ↦ x² est continue et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. f ­admet donc une fonction réciproque f⁻¹ définie sur f([0 ; + ∞[) = [0 ; + ∞[. Or pour x ∈ [0 ; + ∞[, $y=x^2\iff x=\sqrt{y}$. Donc $f^{-1}:y\mapsto \sqrt{y}.$

Méthode

Déterminer une fonction réciproque

Soit f la fonction définie sur ]−1 ; + ∞[ par f(x) = xe^x. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

a. Montrer que f admet une fonction réciproque f  ⁻¹ sur ]−1 ; + ∞[.

b. Déterminer la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

c. Tracer $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormé et en déduire la courbe représentative de f  ⁻¹.

conseils

a. Pour montrer que f admet une fonction réciproque, appliquez le premier théorème. Vérifiez toutes les hypothèses de ce théorème :

• f est continue sur ]−1 ; + ∞[ ;

• f est strictement monotone sur ]−1 ; + ∞[.

b. Appliquez la formule donnant l'équation d'une tangente en un point.

c. Pour tracer la courbe représentant f    ⁻¹, on fera une symétrie de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite d'équation y = x, et on utilisera la tangente au point d'abscisse 0.

solution

a. Les fonctions x ↦ x et x ↦ e^x sont continues sur ℝ, f est donc continue sur ℝ, en particulier sur ]−1 ; + ∞[.

Pour montrer que f est strictement monotone sur ]−1 ; + ∞[, étudions le signe de sa dérivée. f est dérivable sur ]−1 ; + ∞[ comme produit de fonctions dérivables. Pour tout x ∈ ]−1 ; + ∞[, f ′(x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x. $f^{\prime }\left(x\right)$ est du signe de (x + 1) car e^x > 0. Sur ]−1 ; + ∞[, x + 1 > 0, donc f est strictement croissante.

Ainsi, f est continue et strictement croissante sur ]−1 ; + ∞[. Elle admet une fonction réciproque f ⁻¹ définie sur $\left]f\left(-1\right);\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\right[=\left]e^{-1};+\infty \right[.$

b. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est

$y=f^{\prime }\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$, soit y = x.

c. Remarquons que le point d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ a pour ordonnée 0 et est donc sur la droite d'équation y = x. Les courbes représentatives de f et f  ⁻¹ auront donc ce point en commun.