Les fonctions trigonométriques interviennent souvent en physique. Elles s'étudient comme n'importe quelle fonction, et le recours au cercle trigonométrique permet de résoudre rapidement des équations et inéquations.

I Fonction cosinus

La fonction cosinus, notée cos, est définie sur $\text{ℝ}$.

Pour tout réel x, $\cos \left(-x\right)=\cos x$, la fonction cosinus est paire, l'axe des ordonnées est axe de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, $\cos \left(x+2\text{π}\right)=\cos x$, la fonction cosinus est périodique de période $\text{2}\text{π}$, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\text{π}\overrightarrow{i}$.

Tableau de variations sur $\left[0;\text{π}\right]$

Courbe représentative

II Fonction sinus

La fonction sinus, notée sin, est définie sur $\text{ℝ}$.

Pour tout réel x, $\sin \left(-x\right)=-\sin x$, la fonction sinus est impaire, l'origine O du repère est centre de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, $\sin \left(x+2\text{π}\right)=\sin x$, la fonction sinus est périodique de période $\text{2}\text{π}$, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur $2\text{π}\overrightarrow{i}$.

Tableau de variations sur $\left[0;\text{π}\right]$

Courbe représentative

III Dérivée des fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\text{ℝ}$, et pour tout réel x :

$\text{cos′}\left(x\right)=-\sin x$ et $\text{sin′}\left(x\right)= \cos x$

Les limites des taux d'accroissement en 0 des fonctions sinus et cosinus donnent :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x}=0$

Méthode

Résoudre une inéquation

Résoudre dans l'intervalle $\left]-\text{π};\text{π}\right]$ l'inéquation $\cos x\ge \frac{1}{2}$.

Conseil

Aidez-vous d'un cercle trigonométrique et utilisez les variations de la fonction cos.

Solution

La fonction cos est croissante sur $\left]-\text{π};0\right]$ et décroissante sur $\left[0;\text{π}\right]$.

De plus, $\cos \frac{-\text{π}}{3}=\cos \frac{\text{π}}{3}=\frac{1}{2}$.

Sur $\left]-\text{π};0\right]$, $\cos x\ge \frac{1}{2}\iff -\frac{\text{π}}{3}\le x\le 0$ ;

Sur $\left[0;\text{π}\right]$, $\cos x\ge \frac{1}{2}\iff 0\le x\le \frac{\text{π}}{3}$.

Finalement, sur $\left]-\text{π};\text{π}\right]$, $\cos x\ge \frac{1}{2}\iff x\in \left[-\frac{\text{π}}{3};\frac{\text{π}}{3}\right].$

Donc $\mathcal{S}=\left[-\frac{\text{π}}{3};\frac{\text{π}}{3}\right]$.