Seconde Physique-chimie Modéliser une action sur un système

La gravitation universelle a été découverte par Newton au xviie siècle. Le mouvement de la Lune autour de la Terre est la manifestation d'une action à distance appelée interaction gravitationnelle.

I Intensité des forces gravitationnelles

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Deux corps $A$ et $B$ s'attirent en exerçant l'un sur l'autre des forces d'interaction gravitationnelle.

D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par $A$ sur $B$ est opposée à la force exercée par $B$ sur $A$ : $\vec{F}$ B/A = − $\vec{F}$ A/B.

Ces forces ont la même intensité, proportionnelle à leurs masses $m_{A}$ et $m_{B}$ et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui sépare les corps A et B :

$F_{A/B} = F_{B/A} = G \times \frac{m_{A} \times m_{B}}{d^{2}}$

FA/B et FB/A en newtons (N)

mA et mB en kilogrammes (kg)

d en mètres (m)

$G$ est la constante de gravitation universelle : $G = 6,67 \times 10^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot {kg}^{- 2}$ .

À noter

Cette expression n'est valable que pour des objets « ponctuels » (dont la taille est petite devant la distance qui les sépare) ou des objets sphériques à répartition homogène de masse (c'est le cas des astres par exemple). G est une grandeur « universelle » car elle est constante dans tout l'Univers.

II Expression vectorielle des forces gravitationnelles

Exemple :

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En choisissant un vecteur unitaire $\vec{u}$ dirigé de la Terre vers la Lune, on peut exprimer la force exercée sur la Terre vectoriellement : ${\vec{F}}_{L / T} = G \times \frac{m_{T} \times m_{L}}{d^{2}} \vec{u}$ .

La force exercée sur la Lune étant dans l'autre sens : ${\vec{F}}_{T / L} = - G \times \frac{m_{T} \times m_{L}}{d^{2}} \vec{u}$ .

À noter

Cette expression est généralisable à toute interaction gravitationnelle entre deux corps A et B.

Méthode

Calculer l'intensité des forces d'interaction gravitationnelle

a. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur la Lune. La comparer à la valeur de la force exercée par la Lune sur la Terre.

b. Calculer la valeur de la force exercée par la Terre sur une pomme de masse 70 g proche du sol.

c. Que peut-on dire de la force d'attraction gravitationnelle entre deux pommes de 70 g séparées de 50 cm ?

Données : • $M_{Terre} = 5,98 \times 10^{24} kg$ et $M_{Lune} = 7,35 \times 10^{22} kg$ ;

• distance Terre-Lune : $d_{T/L} = 3,84 \times 10^{8} m$ ;

• rayon de la Terre : $R_{T} = 6 380 km$ .

Conseils

a. Utilisez la formule donnant l'intensité des forces d'interaction gravitationnelles sans oublier le carré de la distance au dénominateur de l'expression.

b. La distance d à prendre en compte est celle qui sépare les centres des objets : recherchez la donnée correspondante en faisant attention aux unités.

c. Attention aux unités : les masses sont en kg et les distances en m.

Solution

a. D'après la loi de la gravitation universelle :

$F_{T/L} = G \times \frac{m_{T} \times m_{L}}{d_{T/L}^{2}} = 6,67 \times 10^{- 11} \times \frac{5,98 \times 10^{24} \times 7,35 \times 10^{22}}{{(3,84 \times 10^{8})}^{2}} = 1,99 \times 10^{20} N.$

La force exercée par la Lune sur la Terre a la même valeur que la force exercée par la Terre sur la Lune : $F_{L/T} = F_{T/L} = 1,99 \times 10^{20} N$ .

b. La distance à prendre en compte pour le calcul est le rayon terrestre $R_{T}$ et il doit être exprimé en mètres : 6 380 km = 6 380 000 m = 6,38 × 106 m.

$F_{T/P} = G \times \frac{m_{T} \times m_{P}}{d_{T/P}^{2}} = 6,67 \times 10^{- 11} \times \frac{5,98 \times 10^{24} \times 70 \times 10^{- 3}}{{(6,38 \times 10^{6})}^{2}} = 0,69 N .$

c. Entre deux pommes séparées de 50 cm = 0,50 m (distance exprimée en m) ayant une masse de 70 g = 70 × 10–3 kg (masse exprimée en kg)

$F_{P/P} = G \times \frac{m_{P} \times m_{P}}{d_{P/P}^{2}} = 6,67 \times 10^{- 11} \times \frac{70 \times 10^{- 3} \times 70 \times 10^{- 3}}{{(0,50)}^{2}} = 1,3 \times 10^{- 12} N$ .

Cette force est extrêmement petite comparée à $F_{T/P}$ .

À noter

Les forces gravitationnelles se manifestent surtout lorsqu'un au moins des deux corps est massif (astre par exemple).

Forces d'interaction gravitationnelle

I Intensité des forces gravitationnelles

II Expression vectorielle des forces gravitationnelles

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