Formaliser la notion de fonction

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Généralités sur les fonctions


Rappels de cours

1 Vocabulaire sur les fonctions

Soit D un ensemble de nombres réels.

► Définir une fonction f sur D, c’est associer à tout nombre x de D un unique nombre réel, appelé l’image de x par f et noté f(x).

D est l’ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction f : c’est l’ensemble de définition de f. x s’appelle la variable.

À noter ! Le fait qu’à tout x de D, on associe le nombre f(x) peut se noter f:xf(x).

exemple Associer au côté x d’un carré le périmètre de ce carré permet de définir sur Dp=[0;+[ la fonction p:xp(x)=4x.

► On appelle antécédent d’un nombre réel b par f tout nombre réel x de l’ensemble D tel que f(x)=b.

à noter ! Un réel peut avoir plusieurs antécédents ou ne pas en avoir.

exemple Si g(x)=x xD=[0 ;+[, 1 n’a pas d’antécédent par g car la racine carrée d’un nombre positif ne peut être négative.

2 Fonctions et calculatrice

Soit f la fonction définie sur par f(x)=3x+5. On peut afficher à l’aide de la calculatrice les images par f de nombres réels.

Casio

Menu TABLE

Entrez : Y1=3X+5

Réglez la table : SET

Start=0End=10Step=1

Affichez la table : TABL

02909_F04_01

Texas Instrument

Touche f(x)

Entrez : Y1=3X+5

Réglez la table : 2nde + déftable

DébTbl=0Pas=1

Affichez la table : 2nde + table

02909_F04_02

Méthodes

Calculer l’image d’un réel par une fonction

Calculer l’image de 1 puis celle de – 3 par la fonction f définie sur par f(x)=2x24x+5.

Conseils

Remplacez x dans f(x) par les valeurs indiquées et faites les calculs.

 

Solution

f(1)=2×124×1+5=24+5=3.

L’image de 1 par f est 3.

f(3)=2×(3)24×(3)+5=35.

L’image de – 3 par f est 35.

Déterminer le(s) antécédent(s) d’un réel par une fonction

Déterminer les éventuels antécédents de 0 par la fonction g g est définie sur par g(x)=3x26x.

Conseils

Résolvez l’équation induite et pensez au produit nul.

 

Solution

Le problème posé revient à résoudre dans l’équation g(x)=0.

g(x)=03x26x=03x(x2)=0produit nul3x=0 ou x2=0x=0 ou x=2.

Les antécédents de 0 par g sont 0 et 2.

Chercher l’ensemble de définition d’une fonction

Déterminer l’ensemble de définition Df de f:x2x7.

Conseils

Notez que l’expression sous la racine carrée doit être positive.

 

Solution

f(x)=2x7 existe si et seulement si 2x70.

Or, 2x702x7x3,5.

L’ensemble de définition de f est donc Df=[3,5 ;+[.