Première générale Maths (spé) Équations et fonctions polynômes du second degré

La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré.

I Forme canonique et racines

Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P(x) = ax2 + bx + c.

La forme canonique de P(x) s'écrit, pour tout x ∈ ℝ :

$P (x) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}) .$

Le réel Δ = b2 – 4ac est appelé discriminant de P ou discriminant de l'équation ax2 + bx + c = 0.

	Racines de P	Factorisation de P
Δ 0	aucune	aucune
Δ = 0	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	$P (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$
Δ > 0	$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$	$P (x) = a ((x + \frac{b}{2 a}) - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) ((x + \frac{b}{2 a}) + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})$

II Signe d'une fonction polynôme du second degré

Règle générale : toute fonction polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf éventuellement entre ses racines.

Plus précisément, soit P est une fonction polynôme de coefficient dominant le réel non nul a et de discriminant Δ.

• Si Δ 0 alors pour tout réel x, P(x) est du signe de a.

• Si Δ = 0 et si x0 est l'unique racine de P alors pour tout réel x, P(x) = a(x – x0)2 et P(x) est du signe de a.

À noter

Il ne faut pas confondre le signe du discriminant et le signe de la fonction polynôme.

• Si Δ > 0 et si x1 et x2 sont les racines de P avec x1 x2 alors pour tout réel x, P(x) = a(x – x1)(x – x2).

Si x ∈ ]–∞ ; x1[ ∪ ]x2 ; +∞[ alors P(x) est du signe de a et si x ∈ ]x1 ; x2[ P(x) est du signe de –a.

Méthodes

1 Résoudre des équations du second degré

Résoudre les équations suivantes.

a. –6x2 + x + 1 = 0

b. 5x2 – 6x + 2 = 0

c. $2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} = 0$

conseils

• Lorsque la factorisation n'est pas évidente, on calcule le discriminant.

• On déduit du signe du discriminant l'existence et le nombre de solutions, puis on calcule leurs valeurs.

solution

a. L'équation admet pour discriminant Δ1 = 12 – 4 × (–6) × 1, soit Δ1 = 25 et Δ1 > 0.

L'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

$x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \times (- 6)}$ et $x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \times (- 6)}$ soit $x_{1} = \frac{1}{2}$ et $x_{2} = - \frac{1}{3}$ .

b. L'équation admet pour discriminant Δ2 = (–6)2 – 4 × 5 × 2, soit Δ2 = –4 et Δ2 0. L'équation n'admet pas de solution réelle.

c. L'équation admet pour discriminant $Δ_{3} = 2^{2} - 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 0$ .

L'équation admet pour unique solution $x_{0} = - \frac{2}{2 \times 2}$ soit $x_{0} = - \frac{1}{2}$ .

2 Factoriser des polynômes du second degré

Factoriser si possible les fonctions polynômes suivantes en produit de fonctions affines.

a. P(x) = – x2 + 2x + 3 b. $Q (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + \frac{1}{12}$ c. R(x) = –3x2 + 2x – 1

conseils

On détermine tout d'abord comme ci-dessus les racines éventuelles des polynômes du second degré, pour ensuite les factoriser.

solution

À noter

Il n'y a pas unicité de la factorisation : pour tout x ∈ ℝ, P(x) = (– x – 1)(x – 3) = (x + 1)(3 – x).

a. P admet pour discriminant 16 et pour racines –1 et 3, donc pour tout réel x :

P(x) = –(x + 1)(x – 3).

b. Q admet pour discriminant 0 et pour unique racine $\frac{1}{2}$ , donc pour tout réel x, $Q (x) = \frac{1}{3} {(x - \frac{1}{2})}^{2}$ .

c. R admet pour discriminant –8 et n'est pas factorisable dans ℝ en produit de fonctions affines.

Forme canonique, factorisation, racines et signe

I Forme canonique et racines

II Signe d'une fonction polynôme du second degré

1 Résoudre des équations du second degré

2 Factoriser des polynômes du second degré

Pour lire la suite