Fiche de révision

Forme canonique, factorisation, racines et signe

Contenu


La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré.

I Forme canonique et racines

Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P(x) = ax2 + bx + c.

La forme canonique de P(x) s'écrit, pour tout x  ℝ :

P(x)=a((x+b2a)2b24ac4a2).

Le réel Δ = b2 – 4ac est appelé discriminant de P ou discriminant de l'équation ax2 + bx + c = 0.

 

Racines de P

Factorisation de P

Δ  0

aucune

aucune

Δ = 0

x0=b2a

P(x)=a(x+b2a)2

Δ > 0

x1=bΔ2a et

x2=b+Δ2a

P(x)=a((x+b2a)Δ2a)((x+b2a)+Δ2a)

II Signe d'une fonction polynôme du second degré

Règle générale : toute fonction polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf éventuellement entre ses racines.

Plus précisément, soit P est une fonction polynôme de coefficient dominant le réel non nul a et de discriminant Δ.

• Si Δ x, P(x) est du signe de a.

• Si Δ = 0 et si x0 est l'unique racine de P alors pour tout réel x, P(x) = a(x x0)2 et P(x) est du signe de a.

À noter

Il ne faut pas confondre le signe du discriminant et le signe de la fonction polynôme.

• Si Δ > 0 et si x1 et x2 sont les racines de P avec x1  x2 alors pour tout réel x, P(x) = a(x x1)(x – x2).

Si x  ]–∞ ; x1[ ]x2 ; +∞[ alors P(x) est du signe de a et si x  ]x1 ; x2[ P(x) est du signe de –a.

Méthodes

1 Résoudre des équations du second degré

Résoudre les équations suivantes.

a. –6x2 + x + 1 = 0

b. 5x2 – 6x + 2 = 0

c. 2x2+2x+12=0

conseils

• Lorsque la factorisation n'est pas évidente, on calcule le discriminant.

• On déduit du signe du discriminant l'existence et le nombre de solutions, puis on calcule leurs valeurs.

solution

a. L'équation admet pour discriminant Δ1 = 12 – 4 × (–6) × 1, soit Δ1 = 25 et Δ1 > 0.

L'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

x1=1252×(6) et x2=1+252×(6) soit x1=12 et x2=13.

b. L'équation admet pour discriminant Δ2 = (–6)2 – 4 × 5 × 2, soit Δ2 = –4 et Δ2 pas de solution réelle.

c. L'équation admet pour discriminant Δ3=224×2×12=0.

L'équation admet pour unique solution x0=22×2 soit x0=12.

2 Factoriser des polynômes du second degré

Factoriser si possible les fonctions polynômes suivantes en produit de fonctions affines.

a. P(x) = – x2 + 2x + 3  b. Q(x)=13x213x+112   c. R(x) = –3x2 + 2x – 1

conseils

On détermine tout d'abord comme ci-dessus les racines éventuelles des polynômes du second degré, pour ensuite les factoriser.

solution

À noter

Il n'y a pas unicité de la factorisation : pour tout x  ℝ, P(x) = (– x – 1)(x – 3) = (x + 1)(3 – x).

a. P admet pour discriminant 16 et pour racines –1 et 3, donc pour tout réel x :

P(x) = –(x + 1)(x – 3).

b. Q admet pour discriminant 0 et pour unique racine 12 , donc pour tout réel x, Q(x)=13(x12)2.

c. R admet pour discriminant –8 et n'est pas factorisable dans ℝ en produit de fonctions affines.

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