Forme canonique, factorisation, racines et signe

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Équations et fonctions polynômes du second degré


La forme canonique permet de factoriser toute fonction polynôme du second degré puis de résoudre systématiquement toute équation du second degré.

I Forme canonique et racines

Soit trois réels a, b et c avec a ≠ 0 et soit la fonction polynôme du second degré P définie pour tout réel x par P(x) = ax2 + bx + c.

La forme canonique de P(x) s’écrit, pour tout x  ℝ :

P(x)=a((x+b2a)2b24ac4a2).

Le réel Δ = b2 – 4ac est appelé discriminant de P ou discriminant de l’équation ax2 + bx + c = 0.

 

Racines de P

Factorisation de P

Δ < 0

aucune

aucune

Δ = 0

x0=b2a

P(x)=a(x+b2a)2

Δ > 0

x1=bΔ2a et

x2=b+Δ2a

P(x)=a((x+b2a)Δ2a)((x+b2a)+Δ2a)

II Signe d’une fonction polynôme du second degré

Règle générale : toute fonction polynôme du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf éventuellement entre ses racines.

Plus précisément, soit P est une fonction polynôme de coefficient dominant le réel non nul a et de discriminant Δ.

• Si Δ < 0 alors pour tout réel x, P(x) est du signe de a.

• Si Δ = 0 et si x0 est l’unique racine de P alors pour tout réel x, P(x) = a(x x0)2 et P(x) est du signe de a.

À noter

Il ne faut pas confondre le signe du discriminant et le signe de la fonction polynôme.

• Si Δ > 0 et si x1 et x2 sont les racines de P avec x1 < x2 alors pour tout réel x, P(x) = a(x x1)(x – x2).

Si x  ]–∞ ; x1[ ]x2 ; +∞[ alors P(x) est du signe de a et si x  ]x1 ; x2[ P(x) est du signe de –a.

Méthodes

1 Résoudre des équations du second degré

Résoudre les équations suivantes.

a. –6x2 + x + 1 = 0

b. 5x2 – 6x + 2 = 0

c. 2x2+2x+12=0

conseils

• Lorsque la factorisation n’est pas évidente, on calcule le discriminant.

• On déduit du signe du discriminant l’existence et le nombre de solutions, puis on calcule leurs valeurs.

solution

a. L’équation admet pour discriminant Δ1 = 12 – 4 × (–6) × 1, soit Δ1 = 25 et Δ1 > 0.

L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

x1=1252×(6) et x2=1+252×(6) soit x1=12 et x2=13.

b. L’équation admet pour discriminant Δ2 = (–6)2 – 4 × 5 × 2, soit Δ2 = –4 et Δ2 < 0. L’équation n’admet pas de solution réelle.

c. L’équation admet pour discriminant Δ3=224×2×12=0.

L’équation admet pour unique solution x0=22×2 soit x0=12.

2 Factoriser des polynômes du second degré

Factoriser si possible les fonctions polynômes suivantes en produit de fonctions affines.

a. P(x) = – x2 + 2x + 3  b. Q(x)=13x213x+112   c. R(x) = –3x2 + 2x – 1

conseils

On détermine tout d’abord comme ci-dessus les racines éventuelles des polynômes du second degré, pour ensuite les factoriser.

solution

À noter

Il n’y a pas unicité de la factorisation : pour tout x  ℝ, P(x) = (– x – 1)(x – 3) = (x + 1)(3 – x).

a. P admet pour discriminant 16 et pour racines –1 et 3, donc pour tout réel x :

P(x) = –(x + 1)(x – 3).

b. Q admet pour discriminant 0 et pour unique racine 12 , donc pour tout réel x, Q(x)=13(x12)2.

c. R admet pour discriminant –8 et n’est pas factorisable dans ℝ en produit de fonctions affines.

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