Formule des probabilités totales

Lorsque l’univers des possibles est divisé en une partition d’événements, on peut facilement calculer la probabilité d’un ­événement quelconque en considérant son intersection avec les éléments de la ­partition.

I Préalable

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P.

1 Partition de Ω

On considère des événements A1, A2, …, An non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est l’univers Ω tout entier.

On dit que ces événements forment une partition de Ω, ou qu’ils forment un système complet d’événements de Ω.

Exemple : Les saisons de naissance des élèves d’une classe la partagent en quatre groupes formant une partition de la classe.

2 Calculer des probabilités à l’aide d’un arbre

Dans un arbre, les événements partant d’un nœud forment une partition. La somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1.

Exemple : $P_{\text{A}}(\text{X})+P_{\text{A}}(\overline{\text{X}})=1$.

II Formule des probabilités totales

Pour tout événement X et toute partition {A1, A2, A3} de Ω :

$P(\text{X})=P(\text{X}\cap {\text{A}}_1)+P(\text{X}\cap {\text{A}}_2)+P(\text{X}\cap {\text{A}}_3)$

Avec les probabilité conditionnelles :

$P(\text{X})=P_{{\text{A}}_1}(\text{X})P({\text{A}}_1)+P_{{\text{A}}_2}(\text{X})P({\text{A}}_2)+P_{{\text{A}}_3}(\text{X})P({\text{A}}_3)$

Souvent, on utilise la formule des probabilités totales dans le cas où la partition est {A ; $\overline{\text{A}}$}, A étant non vide, ainsi :

$P(\text{X})=P(\text{X}\cap \text{A})+P(\text{X}\cap \overline{\text{A}})=P_{\text{A}}(\text{X})P(\text{A})+P_{\overline{\text{A}}}(\text{X})P(\overline{\text{A}})$

Exemples : blanc/noir ; pair/impair ; défectueux/non ­défectueux ; etc.

Méthodes

Utiliser la formule des probabilités totales

• Dans une urne A, il y a 3 boules noires et 2 boules blanches.

• Dans une urne B, il y a 4 boules noires et 6 boules blanches.

On jette un dé non pipé. Si c’est le 1 ou le 6 qui sort, on choisit l’urne A, sinon on choisit l’urne B. On prélève alors une boule de l’urne choisie.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

2. Quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne A sachant que l’on a tiré une boule blanche ?

conseils

1. On utilise un arbre de probabilité et la formule des probabilités totales. En effet, les deux événements (A : « on choisi l’urne A », B : « on choisi l’urne B ») forment une partition de l’univers ($\overline{\text{A}}=\text{B}$).

2. Pensez à la formule des probabilités composées.

solution

1. Choisir l’urne A équivaut à tirer 1 ou 6, donc choisir B équivaut à tirer 2, 3, 4 ou 5.

Notons X l’événement : « la boule tirée est blanche ». On dessine l’arbre ci-contre.

$P(\text{A})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ donc $P(\text{B})=P(\overline{\text{A}})=1–P(\text{A})=\frac{2}{3}$.

De plus, les compositions des urnes font que :

$P_{\text{A}}(\text{X})=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$ et $P_{\overline{\text{A}}}(\text{X})=P_{\text{B}}(\text{X})=\frac{6}{4+6}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

Donc, comme A et B forment un système complet d’événements, la formule des probabilités totales donne :

$P(\text{X})=P_{\text{A}}(\text{X})P(\text{A})+P_{\overline{\text{A}}}(\text{X})P(\overline{\text{A}})$, soit $P(\text{X})=\frac{2}{5}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{\text{8}}{\text{15}}$.

2. On cherche PX(A) et on trouve $\frac{P(\text{A}\cap \text{X})}{P(\text{X})}=\frac{P_{\text{A}}(\text{X})P(\text{A})}{P(\text{X})}$.

Par conséquent $P_{\text{X}}(\text{A})=\frac{\frac{2}{5}\times \frac{1}{3}}{\frac{8}{15}}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{8}{15}}=\frac{2}{8}=\frac{\text{1}}{\text{4}}$.

À noter

La valeur de PX(A) n’apparaît pas dans l’arbre !