Lorsque l'univers des possibles est divisé en une partition d'événements, on peut facilement calculer la probabilité d'un événement quelconque en considérant son intersection avec les éléments de la partition.
I Préalable
On se place dans un univers Ω muni d'une probabilité P.
1 Partition de Ω
On considère des événements A1, A2, …, An non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est l'univers Ω tout entier.
On dit que ces événements forment une partition de Ω, ou qu'ils forment un système complet d'événements de Ω.
Exemple : Les saisons de naissance des élèves d'une classe la partagent en quatre groupes formant une partition de la classe.
2 Calculer des probabilités à l'aide d'un arbre
Dans un arbre, les événements partant d'un nœud forment une partition. La somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1.
Exemple : .
II Formule des probabilités totales
Pour tout événement X et toute partition {A1, A2, A3} de Ω :
Avec les probabilité conditionnelles :
Souvent, on utilise la formule des probabilités totales dans le cas où la partition est {A ; }, A étant non vide, ainsi :
À noter
Évidemment la formule s'étend pour 4, 5, 6… événements formant une partition de Ω.
Exemples : blanc/noir ; pair/impair ; défectueux/non défectueux ; etc.
Méthodes
Utiliser la formule des probabilités totales
• Dans une urne A, il y a 3 boules noires et 2 boules blanches.
• Dans une urne B, il y a 4 boules noires et 6 boules blanches.
On jette un dé non pipé. Si c'est le 1 ou le 6 qui sort, on choisit l'urne A, sinon on choisit l'urne B. On prélève alors une boule de l'urne choisie.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2. Quelle est la probabilité que l'urne choisie soit l'urne A sachant que l'on a tiré une boule blanche ?
conseils
1. On utilise un arbre de probabilité et la formule des probabilités totales. En effet, les deux événements (A : « on choisi l'urne A », B : « on choisi l'urne B ») forment une partition de l'univers ().
2. Pensez à la formule des probabilités composées.
solution

1. Choisir l'urne A équivaut à tirer 1 ou 6, donc choisir B équivaut à tirer 2, 3, 4 ou 5.
Notons X l'événement : « la boule tirée est blanche ». On dessine l'arbre ci-contre.
donc .
De plus, les compositions des urnes font que :
et .
Donc, comme A et B forment un système complet d'événements, la formule des probabilités totales donne :
, soit .
2. On cherche PX(A) et on trouve .
Par conséquent .
À noter
La valeur de PX(A) n'apparaît pas dans l'arbre !