Formule des probabilités totales

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Probabilités conditionnelles et indépendance

Lorsque l’univers des possibles est divisé en une partition d’événements, on peut facilement calculer la probabilité d’un ­événement quelconque en considérant son intersection avec les éléments de la ­partition.

I Préalable

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P.

1 Partition de Ω

On considère des événements A1, A2, …, An non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est l’univers Ω tout entier.

On dit que ces événements forment une partition de Ω, ou qu’ils forment un système complet d’événements de Ω.

Exemple : Les saisons de naissance des élèves d’une classe la partagent en quatre groupes formant une partition de la classe.

2 Calculer des probabilités à l’aide d’un arbre

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Dans un arbre, les événements partant d’un nœud forment une partition. La somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1.

Exemple : PA(X)+PA(X¯)=1.

II Formule des probabilités totales

Pour tout événement X et toute partition {A1, A2, A3} de Ω :

P(X)=P(XA1)+P(XA2)+P(XA3)

Avec les probabilité conditionnelles :

P(X)=PA1(X)P(A1)+PA2(X)P(A2)+PA3(X)P(A3)

Souvent, on utilise la formule des probabilités totales dans le cas où la partition est {A ; A¯}, A étant non vide, ainsi :

À noter

Évidemment la formule s’étend pour 4, 5, 6… événements formant une partition de Ω.

P(X)=P(XA)+P(XA¯)=PA(X)P(A)+PA¯(X)P(A¯)

Exemples : blanc/noir ; pair/impair ; défectueux/non ­défectueux ; etc.

Méthodes

Utiliser la formule des probabilités totales

• Dans une urne A, il y a 3 boules noires et 2 boules blanches.

• Dans une urne B, il y a 4 boules noires et 6 boules blanches.

On jette un dé non pipé. Si c’est le 1 ou le 6 qui sort, on choisit l’urne A, sinon on choisit l’urne B. On prélève alors une boule de l’urne choisie.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

2. Quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne A sachant que l’on a tiré une boule blanche ?

conseils

1. On utilise un arbre de probabilité et la formule des probabilités totales. En effet, les deux événements (A : « on choisi l’urne A », B : « on choisi l’urne B ») forment une partition de l’univers (A¯=B).

2. Pensez à la formule des probabilités composées.

solution

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1. Choisir l’urne A équivaut à tirer 1 ou 6, donc choisir B équivaut à tirer 2, 3, 4 ou 5.

Notons X l’événement : « la boule tirée est blanche ». On dessine l’arbre ci-contre.

P(A)=26=13 donc P(B)=P(A¯)=1P(A)=23.

De plus, les compositions des urnes font que :

PA(X)=23+2=25 et PA¯(X)=PB(X)=64+6=610=35.

Donc, comme A et B forment un système complet d’événements, la formule des probabilités totales donne :

P(X)=PA(X)P(A)+PA¯(X)P(A¯), soit P(X)=25×13+35×23=815.

2. On cherche PX(A) et on trouve P(AX)P(X)=PA(X)P(A)P(X).

Par conséquent PX(A)=25×13815=215815=28=14.

À noter

La valeur de PX(A) n’apparaît pas dans l’arbre !

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