Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition des sinus et cosinus

Pour tous nombres réels a et b :

• cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b ;

• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b ;

• sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;

• sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

EXEMPLE

Pour tout nombre réel x, $\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{4}$ ; $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. D'où : $\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x$.

Formules de duplication

• Pour tout nombre réel a :

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2 a = cos² a – sin² a.

• Pour tout nombre réel a :

cos 2a = 2 cos² a – 1 ;

cos 2 a = 1 – 2 sin² a.

Formules de linéarisation

Pour tout nombre réel a : ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ ; ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

EXEMPLE

Pour tout x de ℝ, ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$.

Utiliser une formule de duplication ou de linéarisation pour calculer une intégrale.

EXEMPLE

Calcul de $I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sin 2x\cos 2x\text{ d}x$

Pour tout a de ℝ, $\sin a\cos a=\frac{1}{2}\sin 2a$, donc $\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$.

Donc $I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{2}\sin 4x\text{ d}x$,

$I={\left[\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}$, $I=-\frac{1}{8}\left(\cos \pi -\cos 0\right)=-\frac{1}{8}\left(-1-1\right)$.

car $\cos \pi =-1$ et $\cos 0=1$. D'où $I=-\frac{1}{8}\left(-2\right)=\frac{1}{4}$.