À partir des valeurs d’un tableau croisé d’effectifs, certains calculs permettent de préciser les relations de dépendance entre les deux caractères et la répartition d’individus suivant leur valeur de l’un des caractères.
On suppose donné un tableau croisé d’effectifs décrivant deux caractères d’une même population.
IFréquence conditionnelle
Fréquences en lignes : Pour chaque case du tableau, on calcule le quotient de l’effectif inscrit dans cette case par l’effectif total de la ligne.
La somme des fréquences conditionnelles sur une ligne donnée est égale à 1.
Fréquences en colonnes : Pour chaque case du tableau, on calcule le quotient de l’effectif inscrit dans cette case par l’effectif total de la colonne.
La somme des fréquences conditionnelles sur une colonne donnée est égale à 1.
Remarques
Ces fréquences décrivent, pour une valeur donnée de l’un des caractères, la répartition des individus suivant leur valeur de l’autre caractère.
L’ensemble de référence pour le calcul de ces fréquences n’est pas la population totale, c’est, suivant le cas, l’ensemble des individus correspondant à la ligne ou l’ensemble des individus correspondant à la colonne. C’est pourquoi on ne peut pas additionner dans une même colonne les fréquences conditionnelles par lignes, ni dans une même ligne les fréquences conditionnelles par colonnes ; elles n’ont pas le même ensemble de référence.
IIFréquence marginale
Définition
Pour chaque case du tableau, on calcule le quotient de l’effectif inscrit dans cette case par l’effectif total. On obtient dans les marges les fréquences marginales (ou fréquence par rapport à l’effectif total).
Interprétation : Les fréquences marginales de la colonne « Total » donnent la répartition de l’ensemble des individus suivant leur valeur de l’un des caractères. Les fréquences marginales de la ligne « Total » donnent la répartition de l’ensemble des individus suivant leur valeur de l’autre caractère.
Propriété : La somme des fréquences marginales de la colonne « Total » et la somme des fréquences marginales de la ligne « Total » sont égales à 1.
Méthodes
1 Calculer et interpréter des fréquences conditionnelles
Le tableau croisé ci-dessous donne la répartition par langue vivante B (LV B) des élèves de Seconde et de Première d’un lycée.
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Allemand |
Espagnol |
Total |
|
Seconde |
145 |
367 |
512 |
|
Première |
133 |
365 |
498 |
|
Total |
278 |
732 |
1 010 |
a. Établir le tableau des fréquences conditionnelles de la LV B par rapport aux élèves de Première (arrondir à 0,01).
b. Établir le tableau des fréquences conditionnelles du niveau des élèves par rapport à la LV B allemand (arrondir à 0,01).
c. Donner une interprétation de ces résultats.
Conseil
Pour l’interprétation, donnez en pourcentage la répartition par LV B des élèves de première, et la répartition par niveau de classe des élèves étudiant l’allemand.
Solution
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a.
c. Parmi les élèves de Première, 27 % font de l’allemand en LV B, 73 % font de l’espagnol. Parmi les élèves qui font de l’allemand en LV B, 52 % sont en Seconde, 48 % sont en Première. |
|
b.
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2 Calculer et interpréter des fréquences marginales
Voici la répartition en 2017 des candidats à deux BTS.
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Hommes |
Femmes |
Total |
|
Production |
43 329 |
11 035 |
54 364 |
|
Services |
48 220 |
78 015 |
126 235 |
|
Total |
91 549 |
89 050 |
180 599 |
a. Dresser le tableau des fréquences marginales (arrondir à 0,01).
b. Traduire par une phrase la première valeur en haut à gauche.
c. Parmi les candidats à ces BTS, quelle était la proportion de femmes ?
Conseil
Divisez tous les effectifs par le nombre total de candidats.
Solution
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a. |
Hommes |
Femmes |
Total |
|
Production |
0,24 |
0,06 |
0,30 |
|
Services |
0,27 |
0,43 |
0,70 |
|
Total |
0,51 |
0,49 |
1 |
b. La valeur 0,24 signifie que 24 % des candidats étaient des hommes se présentant aux épreuves du BTS production.
c. Dans la colonne « Femme », sur la ligne « Total », on lit 49 %.