Géométrie et Nombres complexes

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Géométrie et nombres complexes

Géométrie et Nombres complexes

1Fonctions circulaires (rappels)

A Rappels

• Pour tout nombre réel a ; sin2a + cos2a = 1.

• Si cos a ≠ 0,

tana=sinacosa.

B Valeurs particulières

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C Figures relatives aux angles associés

Plutôt que de chercher à retenir directement les formules suivantes, il vaut mieux apprendre à les retrouver sur une figure. Sur les quatre figures suivantes : les coordonnées de M donnent sin a et cos a, les coordonnées de M’ donnent le sinus et le cosinus des angles associés en fonction de sin a et cos a.

Réels opposés : a et – a.

Pour tout nombre réel a :

sin (– a) = – sin a ;

11924_chap08_AC_15_stdi

11924_chap08_AC_16_stdi

cos (– a) = cos a.

On peut retenir que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire.

Réels dont la somme est π : a et π – a.

Pour tout nombre réel a :

sin (πa) = sin a ;

cos (πa) = – cos a.

Réels dont la différence est π : a et πa.

Pour tout nombre réel a :

sin (πa) = – sin a ;

cos (πa) = – cos a.

Réels dont la somme est π2 : a et π2a.

Le cosinus de l’un est le sinus de l’autre.

Pour tout nombre réel a :

11924_chap08_AC_17_stdi

11924_chap08_AC_18_stdi

sinπ2a=cosa ;

cosπ2a=sina.

D Équations

Équation cos x = cos a.

Les solutions de l’équation cos x = cos a sont :

(1) x = ak2π

(2) x = – a + k2π (k ).

Équation sin x = sin a.

Les solutions de l’équation sin x = sin a sont :

(1) x = ak2π

(2) x = πak2π (k ).

11924_chap08_AC_19_stdi

11924_chap08_AC_20_stdi

2Produit scalaire dans le plan (rappels)

Coordonnées d’un vecteur défini par deux points

Soit A(xA, yA) et B(xB, yB) alors :

ABxBxAyByA, aussi noté : AB(xBxA,yByA).

Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé

La norme de uxy est : u=x2+y2.

Distance de A à B dans un repère orthonormé

Dans P muni du repère (O;i,j) orthonormé :

si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors : AB=(xBxA)2+(yByA)2.

Produit scalaire de u par v

Le produit scalaire du vecteur u par le vecteur v est le nombre réel :

u·v=u×v×cosq où θ est une mesure de l’angle (u,v).

Expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs u et v

(O;i,j) est un repère orthonormé.

Le produit scalaire du vecteur uxy par le vecteur vxy est : u·v=xx+yy.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

uv si et seulement si u·v=0.

3Formules d’addition et de duplication

Formules d’addition des sinus et cosinus

Pour tous nombres réels a et b :

• cos (ab) = cos a cos b + sin a sin b ;

• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b ;

• sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ;

• sin (ab) = sin a cos b – cos a sin b.

Exemple

Pour tout nombre réel x, cos2x+π4=cos2xcosπ4sin2xsinπ4 ; cosπ4=sinπ4=22. D’où : cos2x+π4=22cos2x22sin2x

Formules de duplication

• Pour tout nombre réel a :

sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2 a = cos2 a – sin2 a.

• Pour tout nombre réel a :

cos 2a = 2 cos2 a – 1 ; cos 2 a = 1 – 2 sin2 a.

Formules de linéarisation

Pour tout nombre réel a :

cos2a=1+cos2a2 ; sin2a=1cos2a2.

Exemple

Pour tout x de , cos22x=1+cos4xx.

4Nombres complexes

Nombre complexe (rappel)

Un nombre complexe s’écrit z = abi, où a et b sont des réels et i un nombre nouveau.

Opérations sur l’ensemble des nombres complexes (rappel)

On calcule dans comme dans , en remplaçant chaque fois que c’est nécessaire i2 par – 1.

Forme algébrique de z (rappel)

C’est la forme z = abi.

Nombre complexe conjugué de z (rappel)

C’est le nombre z¯=abi.

Exemple11924_chap08_AC_22_stdi

Le nombre complexe conjugué de z=3+2i est z¯=32i.

Représentation géométrique de z (rappel)

• Le point M(a, b) est l’image du nombre complexe z = abi.

• Le nombre complexe z = abi est l’affixe du point M(a, b).

Module et argument de z (rappel)

11924_chap08_AC_23_stdi

• Le module de z est le nombre réel z=a2+b2.

z=OM.

• Un argument de z non nul est une mesure de l’angle (u,OM).

• Si on pose arg z = θ,

cosθ=aa2+b2 et sinθ=ba2+b2.

Exemple

On considère le nombre complexe z=2+i6.

Le module de z est z=22+62, z=8, z=2×4, z=22.

Notons θ un argument de z.

cosθ=2z=222, cosθ=12 ; sinθ=6z=3×222, sinθ=32.

On lit dans le formulaire du paragraphe B que : θ=π3 (+ k2π). Un argument de z est π3.

Forme trigonométrique (rappel)

• Si z=r et arg z = θ, la forme trigonométrique de z est : z = r(cos θ + i sin θ).

• Dans ce cas, on note aussi parfois z = [r, θ].

Exemple

On considère le nombre complexe z=6+23i.

Vérifiez-le !

On a : z=43 et argz=π6.

Une forme trigonométrique de z est z=43cosπ6+isinπ6.

Forme (ou écriture exponentielle)

Si z=r et arg z = θ, la forme (ou écriture) exponentielle de z est :

z = reiθ.

Exemple

On considère le nombre complexe z = 2 + 2i.

Faites-le !

On établit que z=22 et que argz=π4.

Une forme trigonométrique de z est z=22cosπ4+isinπ4.

Une forme (ou écriture) exponentielle de z est z=22eiπ4.

Produit de deux nombres complexes

Si z1=r1eiθ1 et z2=r2eiθ2, z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)

z1×z2=z1×z2 et arg(z1 × z2) = arg z1 + arg z2 (à un nombre entier de tours près).

Inverse d’un nombre complexe non nul

Pour tout nombre complexe non nul,

si z = reiθ, 1z=1reiθ.

1z=1z et arg1z=argz (à un nombre entier de tours près).

Quotient de deux nombres complexes

Si z1=r1eiθ1 et z2=r2eiθ2, avec r2 ≠ 0, z1z2=r1r2ei(θ1θ2).

z1z2=z1z2 et argz1z2=argz1argz2(à un nombre entier de tours près).

Exemple

On considère les nombres complexes z1=2+2i3 et z2=3+3i.

z1=(2)2+(23)2=16=4.

Notons arg z1 = θ1.

cosθ1=2z1=24=12.

sinθ1=23z1=234=32.

D’où θ1=ππ3=2π3. C’est-à-dire, argz1=2π3+k2π.

Utiliser le tableau du B et la deuxième figure du C.

z2=32+(3)2=12=43=23.

Notons arg z2 = θ2.

cosθ2=3z2=323=(3)223=32.

sinθ2=3z2=323=12.

Utiliser le tableau du C.

D’où θ2=π6. C’est-à-dire, argz2=π6+k2π.

On peut en déduire que :

z1×z2=z1×z2=83, arg(z1×z2)=argz1+argz2+k2π ;

arg(z1×z2)=2π3+π6+k2π=5π6+k2π.

z1z2=z1z2=423=23 ; argz1z2=argz1argz2+k2π=2π3π6+k2π,

argz1z2=3π6+k2π=π2+k2π.

Conjugué

Si z = reiθ, z¯=reiθ.

z¯=z et arg(z¯)=argz(à un nombre entier de tours près).

Exemple

Avec z1=4ei2π3, z¯1=4ei2π3.