Gérer les opérations sur les vecteurs

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

1 Somme de vecteurs

 Soient u et v deux vecteurs. Le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v est appelé somme des vecteurs u et v. Il est noté u+v.

 Soient A, B et C trois points du plan.

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Relation de Chasles :

AB+BC=AC

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Règle du parallélogramme :

AB+AC=AD

D étant le point tel que ABDC soit un parallélogramme.

 Soient u, v et w trois vecteurs.

u+v=v+u  u+0=u  (u+v)+w=u+(v+w)

2 Produit d’un vecteur par un réel

À noter ! AC est appelé le représentant du vecteur λu d’origine A et d’extrémité C. Si u=0 ou λ=0, alors λu est le vecteur nul.

 Soient u un vecteur non nul, λ un réel non nul, A et B deux points tels que u=AB. Le produit du vecteur u par le réel λ se note λu. Ce vecteur λu est associé à la translation qui transforme A en C tel que :

cas λ>0 : C[AB) et AC=λAB ;

cas λ<0 : C(AB), C[AB) et AC=λAB.

 Soient u et v deux vecteurs, λ et λ deux réels.

(λ+λ)u=λu+λuλ(λu)=(λλ)uλ(u+v)=λu+λv

Méthodes

Construire un point vérifiant une égalité vectorielle

Soient ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. Construire le point F tel que AF=3AIAJ.

Conseils

Construisez les points D et E tels que AD=3AI et AE=AJ, puis le point F à l’aide de la règle du parallélogramme.

Solution

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Le point D vérifiant AD=3AI appartient à la demi-droite [AI) et AD=3AI.

Le point E vérifiant AE=AJ appartient à la droite (AJ) mais n’appartient pas à la demi-droite [AJ) et AE=(1)AJ=AJ.

Le point F vérifie alors l’égalité vectorielle AF=AD+AE.

Ce point est ainsi tel que ADFE soit un parallélogramme.

Déterminer l’image d’une figure par une homothétie

CDEF est un parallélogramme de centre O. C, D, E et F sont les images respectives de C, D, E et F par l’homothétie de centre O et de rapport 1,5. Déterminer la nature du quadrilatère CDEF.

Conseils

Utilisez la propriété suivante : « Si une homothétie de rapport λ transforme A en A et B en B, alors A′ B′ =λAB.. »

Solution

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L’homothétie est de rapport 1,5, on a : C′ D′ =1,5CD et F′ E′ =1,5FE.

CDEF étant un parallélogramme, les vecteurs CD et FE sont égaux fiche29. Ainsi, C′ D′ =1,5CD=1,5FE=F′ E′ .

C′ D′ et F′ E′ étant égaux, le quadrilatère CDEF est également un parallélogramme.