Gérer les opérations sur les vecteurs

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

1 Somme de vecteurs

 Soient u et v deux vecteurs. Le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v est appelé somme des vecteurs u et v. Il est noté u+v.

 Soient A, B et C trois points du plan.

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Relation de Chasles :

AB+BC=AC

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Règle du parallélogramme :

AB+AC=AD

D étant le point tel que ABDC soit un parallélogramme.

 Soient u, v et w trois vecteurs.

u+v=v+u  u+0=u  (u+v)+w=u+(v+w)

2 Produit d’un vecteur par un réel

À noter ! AC est appelé le représentant du vecteur λu d’origine A et d’extrémité C. Si u=0 ou λ=0, alors λu est le vecteur nul.

 Soient u un vecteur non nul, λ un réel non nul, A et B deux points tels que u=AB. Le produit du vecteur u par le réel λ se note λu. Ce vecteur λu est associé à la translation qui transforme A en C tel que :

cas λ>0 : C[AB) et AC=λAB ;

cas λ<0 : C(AB), C[AB) et AC=λAB.

 Soient u et v deux vecteurs, λ et λ deux réels.

(λ+λ)u=λu+λuλ(λu)=(λλ)uλ(u+v)=λu+λv

Méthodes

Construire un point vérifiant une égalité vectorielle

Soient ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. Construire le point F tel que AF=3AIAJ.

Conseils

Construisez les points D et E tels que AD=3AI et AE=AJ, puis le point F à l’aide de la règle du parallélogramme.

 

Solution

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Le point D vérifiant AD=3AI appartient à la demi-droite [AI) et AD=3AI.

Le point E vérifiant AE=AJ appartient à la droite (AJ) mais n’appartient pas à la demi-droite [AJ) et AE=(1)AJ=AJ.

Le point F vérifie alors l’égalité vectorielle AF=AD+AE. Ce point est ainsi tel que ADFE soit un parallélogramme.

Réduire une expression vectorielle

Soient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts du plan. Réduire l’expression vectorielle suivante : BA+CD+ACBD.

Conseils

Utilisez les différentes propriétés sur le calcul vectoriel (somme de vecteurs) mais aussi la relation de Chasles.

 

Solution

BA+CD+ACBD=BA+CD+AC+DB=BA+AC+CD+DB=(BA+AC)+(CD+DB)=BC+CB=BB=0.