Première générale Maths (tronc commun) Statistiques et probabilités

Dans certaines situations, le fait de savoir que l’événement B est réalisé (ou non) ne change pas la probabilité que l’événement A le soit. On dit alors que les événements A et B sont indépendants.

IÉvénements indépendants

A et B sont deux événements de la même expérience aléatoire, avec $P (B) \neq 0$ .

Définition : A et B sont indépendants si $P_{B} (A) = P (A)$ .

Caractérisations

Si $P (A) \neq 0$ , A et B sont indépendants si $P_{A} (B) = P (B)$ .

A et B sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Propriété : Si A et B sont indépendants, alors $\bar{A}$ et B sont indépendants.

IISuccession d’événements indépendants

On considère une expérience aléatoire formée d’une succession de n épreuves, identiques ou non. Pour chacune de ces épreuves, on s’intéresse à la réalisation d’un événement : A₁ pour la première épreuve, A₂ pour la deuxième, …, A_n pour la n-ième.

Si les événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ sont deux à deux indépendants, alors la probabilité qu’ils soient tous réalisés est égale au produit de leurs probabilités respectives, c’est-à-dire :

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) \times P (A_{2}) \times \dots \times P (A_{n})$

Avec les mêmes notations que précédemment, si, quels que soient les événements $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ associés aux différentes épreuves successives, ces éléments sont indépendants (autrement dit si l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celles des épreuves précédentes), on dit que ces épreuves sont indépendantes.

Une expérience formée d’une succession d’épreuves identiques (on parle de répétition d’épreuves) et indépendantes ayant toutes deux issues est appelée schéma de Bernoulli.

À noter

Des épreuves identiques ne donnent pas nécessairement le même résultat lors d’une réalisation. Elles ont le même univers et chaque issue est obtenue avec la même probabilité pour chacune des épreuves.

Méthodes

1 Déterminer si deux événements sont indépendants

Dans un sac se trouvent 9 jetons : 4 jetons bleus numérotés 1, 2, 3, 4 ; 3 jetons rouges numérotés 1, 1, 2 ; 2 jetons verts numérotés 1 et 3. On tire un jeton au hasard. On considère les événements : R : « le jeton tiré est rouge » ; B : « le jeton tiré est bleu » ; I : « le jeton tiré porte un numéro impair ».

a. R et I sont-ils indépendants ?

b. B et I sont-ils indépendants ?

Conseils

Deux méthodes peuvent être utilisées : soit avec une probabilité conditionnelle, soit avec la probabilité de l’intersection des deux événements.

Solution

a. $P (I) = \frac{2}{3}$ ; $P_{R} (I) = \frac{2}{3}$ . $P_{R} (I) = P (I)$ , donc R et I sont indépendants.

Autre méthode : $P (R) \times P (I) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ ; $P (R \cap I) = \frac{2}{9} = P (R) \times P (I)$ .

b. $P_{B} (I) = \frac{1}{2}$ . $P_{B} (I) \neq P (I)$ , donc B et I ne sont pas indépendants.

Autre méthode : $P (B) \times P (I) = \frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$ ; $P (B \cap I) = \frac{2}{9} \neq P (B) \times P (I)$ .

2 Étudier une succession d’événements indépendants

On lance 3 fois de suite un dé cubique équilibré et on calcule la somme des trois résultats obtenus. Est-il plus probable d’obtenir une somme égale à 9 ou à 10 ?

Conseils

Établissez la liste des combinaisons donnant une somme égale à 9 et une somme égale à 10, et déterminez la probabilité d’obtention de chacune.

Solution

Le nombre total d’issues est 6³, c’est-à-dire 216.

Les résultats pour une somme égale à 9 sont : 6-2-1 ; 5-3-1 ; 4-3-2 ; 5-2-2 ; 4-4-1 ; 3-3-3 ; pour une somme égale à 10 : 6-3-1 ; 5-4-1 ; 5-3-2 ; 6-2-2 ; 4-4-2 ; 4-3-3.

6-2-1 peut être obtenu de 6 manières différentes (6 manières d’ordonner 3 nombres distincts) : $(6, 2, 1), (6, 1, 2), (2, 6, 1), (2, 1, 6), (1, 6, 2), (1, 2, 6)$ ; même calcul pour 5-3-1 ; 4-3-2 ; 6-3-1 ; 5-4-1 ; 5-3-2.

5-2-2 peut être obtenu de 3 manières différentes : $(5, 2, 2), (2, 5, 2), (2, 2, 5)$ ; même calcul pour 4-4-1 ; 6-2-2 ; 4-4-2 ; 4-3-3.

3-3-3 ne peut être obtenu que d’une seule manière : 3 à chaque lancer.

Donc la probabilité d’obtenir 9 est $\frac{6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1}{216}$ , soit $\frac{25}{216}$ ; celle d’obtenir 10 est $\frac{6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3}{216}$ , soit $\frac{27}{216}$ .

Il y a donc plus de chances d’obtenir une somme égale à 10 qu’une somme égale à 9.

Indépendance et succession d'événements indépendants

IÉvénements indépendants

IISuccession d’événements indépendants

À noter

Méthodes

1 Déterminer si deux événements sont indépendants

Conseils

Solution

2 Étudier une succession d’événements indépendants

Conseils

Solution

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