Fiche de révision

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev – Inégalité de concentration

Contenu


La variance d'une variable aléatoire mesure sa dispersion autour de son espérance. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et toutes les inégalités de concentration apportent des précisions sur cette dispersion.

I Inégalité de Markov

Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et si EX désigne son espérance, alors, pour tout réel a strictement positif :

PXaEXa

En notant μ l'espérance de X, cette inégalité est parfois écrite sous la forme :

pour tout réel k>0, PXkμ1k.

On en déduit en particulier que la probabilité que X prenne une valeur supérieure ou égale au double de son espérance est inférieure ou égale à 0,5.

II Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité qu'une variable aléatoire X s'écarte de son espérance d'une quantité supérieure ou égale à une valeur donnée.

Si X est une variable aléatoire d'espérance μ et de variance V, alors, pour tout réel δ>0 :

PXμδVδ2

On peut aussi l'écrire : pour tout réel k>0, PXμkV1k2.

III Une inégalité de concentration pour la moyenne

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et X1,X2,,Xn un échantillon de taille n d'une loi de probabilité d'espérance μ et de variance V.

On note Mn la moyenne de cet échantillon, c'est-à-dire Mn=X1+X2++Xnn.

Alors, pour tout réel δ>0 :

PMnμδVnδ2

À noter

Ce résultat est une conséquence directe de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et d'un résultat vu au chapitre précédent : la variance de Mn est VMn=Vn.

Méthode

Définir une taille d'échantillon en fonction de la précision et du risque choisis

Pour une certaine variété de pois de senteur, la probabilité d'obtenir une fleur blanche est égale à 0,25, la probabilité d'obtenir une fleur rose ou rouge est 0,75.

Combien faut-il observer de fleurs de cette espèce pour que la fréquence de fleurs blanches soit comprise entre 0,2 et 0,3 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99 ?

Conseils

En appelant n la taille de l'échantillon, c'est-à-dire le nombre de fleurs à observer, introduisez la variable aléatoire égale à la fréquence de fleurs blanches dans un échantillon de taille n et déterminez, en fonction de n, l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.

Utilisez ensuite l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Solution

Soit n le nombre de fleurs à observer, Fn et Xn les variables aléatoires donnant respectivement la fréquence et le nombre de fleurs blanches dans un échantillon de taille n. On a Fn=Xnn et Xn suit la loi binomiale Bn;0,25.

L'espérance de Fn est 0,25.

La variance de Xn est VXn=n×0,25×0,75=0,1875n et celle de Fn est V=VFn=VXnn2=0,1875n.

0,2Fn0,3 équivaut à Fn0,250,05.

On cherche donc n tel que PFn0,250,050,99.

Cette condition équivaut à 1PFn0,250,050,99, soit :

PFn0,250,050,01 (*).

Or l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit que, pour tout δ>0 :

PFnμδVδ2, avec μ=0,25, V=0,1875n, et δ=0,05, on a :

PFn0,250,050,1875n0,052.

On cherche n tel que (*) soit vérifiée, il suffit donc que n vérifie 0,1875n0,0520,01, soit n0,18750,01×0,052 c'est-à-dire n7500.

Si on observe au moins 7 500 fleurs, la fréquence de fleurs blanches est comprise entre 0,2 et 0,3 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99.

Remarque : 0,05 est la précision choisie (écart maximal par rapport à l'espérance) et 0,01 est le risque choisi.

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