Inéquations

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les nombres réels

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, il faut bien maîtriser la résolution des équations du premier degré à une inconnue.

I Introduction

À noter

Les règles énoncées ici sont aussi valides pour les inéquations de la forme ax b et ax ⩾ b.

Soit x l’inconnue. On s’intéresse ici à la résolution des inéquations qui peuvent se ramener à une écriture simple, c’est-à-dire à la forme ax < b ou axb.

Exemple : L’inéquation 8x – 2 < 3(x + 7) peut se ­ramener, comme on va le voir, à 5x < 23. On a ainsi a = 5 et b = 23.

II Les deux grandes étapes de résolution

1 Le développement

La première étape consiste à développer, c’est-à-dire à supprimer toutes les parenthèses.

Exemple : 8x – 2 < 3(x + 7) 8x – 2 < 3x + 21

2 Le principe d’équilibre

Lorsque l’on ajoute (ou soustrait) le même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation qui lui est équivalente.

Exemple : On poursuit la résolution de l’inéquation de l’exemple précédent. On a :

8x – 2 < 3x + 21 8x – 2 + 2 < 3x + 21 + 2 (on ajoute 2 aux deux membres de l’inéquation). Après calculs : 8x – 2 < 3x + 21 8x < 3x + 23.

En outre : 8x < 3x + 23 5x < 23 (on soustrait 3x aux deux membres de l’inéquation), donc : 8x – 2 < 3(x + 7) 5x < 23

Lorsque l’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement positif, on obtient une inéquation équivalente et de même sens.

Lorsque l’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inéquation par le même nombre strictement négatif, on obtient une inéquation équivalente et de sens contraire.

Exemples :

 5x < 23 C03_Eqn002 (on divise les deux membres par 5 > 0).

 –2x > 1 C03_Eqn003 (on divise les deux membres par –2 < 0).

Méthode

1 Résoudre une inéquation et représenter ses solutions

Résoudre l’inéquation 5x – 3 < 7x + 1, puis représenter l’ensemble des ­solutions sur un axe.

conseils

La technique est identique à celle employée pour les équations sauf lorsqu’on multiplie ou divise les membres de l’inéquation par un nombre négatif !

solution

5x – 3 < 7x + 1

5x – 3 + 3 < 7x + 1 + 3 On ajoute 3 aux deux membres de l’inéquation.

5x – 7x < 7x + 4 – 7x On soustrait 7x aux deux membres de l’inéquation.

–2x < 4

C03_Eqn004 On divise par un nombre strictement négatif : –2. L’inéquation change de sens.

x > –2

L’ensemble des solutions est donc l’intervalle ]–2, +∞[(en rouge sur l’axe).

04539_C03_11

2 Résoudre une inéquation comportant des fractions

Résoudre l’inéquation 27x2514+x.

conseils

Chassez d’abord les dénominateurs pour se ramener à des inéquations à coefficients entiers.

solution

27x2514+x

C03_Eqn007

On multiplie par 14 pour chasser les ­dénominateurs.

4x  14x ⩾ 24 + 14x  14x –10x ⩾ 24

C03_Eqn008

On divise par un nombre strictement négatif : –10. ­L’inéquation change de sens.

x ⩽ –2,4 L’ensemble des solutions est ]–∞ ; –2,4].

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