Intégration

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Intégration

Intégration

1Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

A Définition de l’intégrale

Soit f une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments de I.

On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) – F(a).

On note :

On lit : somme
de a à b de f(x)dx.

abf(x)dx=F(b)F(a).

On écrit aussi : abf(x)dx=F(x)ab.

Exemples

12(2x+1)dx=x2+x12=62=4.

02(3x2+2x)dx=x3+x202=8+4=12.

1e1tdt=[lnt]1e=lneln1=1.

211t2dt=1t21=1+12=12.

0ln2e3xdx=13e3x0ln2=13e3ln213=13eln2313=13eln813=8313=73.

0π4sintdt=[cost]0π4=22+1.

B Propriétés de l’intégrale

I désigne un intervalle de , f et g des fonctions continues et positives sur I et a, b et c des éléments de I.

Relation de Chasles

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx.

Linéarité

Pour tous nombres réels α et β :

ab[αf(x)+βg(x)]dx=αabf(x)dx+βabg(x)dx.

Positivité

Si ab et f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors abf(x)dx0.

C Valeur moyenne d’une fonction

Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.

On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel :

Vm=1baabf(x)dx.

Exemple

Soit f la fonction définie sur 0,π2 par f(x) = sin 2x.

La valeur moyenne de f sur 0,π2 est : Vm=1π200π2sin2xdx.

Une primitive de x ↦ sin 2x est x12cos2x.

Voir le résultat 7 du paragraphe D du chapitre 3.

D’où Vm=2π12cos2x0π2 ; Vm=2π12cosπ12cos0 ;

cos π = – 1 et cos 0 = 1 ; d’où Vm=2π12+12=2π.

2Calculs d’aires planes

11515_Maths_09_01

A f est positive sur [a, b]

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan, ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

𝒜 est l’aire de la partie coloriée du plan.

axb et 0 ≤ yf(x),

est : !=abf(x)dx.

Pour définir cette partie de plan on dit aussi : « la partie du plan limitée par la courbe représentative Cf de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b ».

Exemple11515_Maths_09_02

On considère la courbe représentative H de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par : f(x)=1x.

Vérifier toujours sur la figure l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul d’aire en « comptant les carreaux ».

L’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe H, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3 est !=131xdx (puisque 1x>0 sur [1, 3]).

!=[lnx]13=ln3ln1=ln30=ln3 ≈ 1,1 unité d’aire.

11515_Maths_09_03

B f est négative sur [a, b]

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [ab]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

axb et f(x) ≤ y ≤ 0,

est : !=abf(x)dx.

On dit aussi que 𝒜 est l’aire de la partie du plan limitée par la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

Attention au signe moins.

11515_Maths_09_04

C Aire limitée par deux courbes représentatives

Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que pour tout x de [a, b], g(x) ≤ f(x).

L’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par les courbes représentatives Cf et Cg de f et g et les deux droites d’équations respectives x = a et x = b est :

!=ab[f(x)g(x)]dx.

Exemple11515_Maths_09_05

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i, j) unité : 1 cm sur chaque axe. Sur la figure, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par f(x)=x+1x. La droite ∆ d’équation y = x est une asymptote de C.

Calculons l’aire en cm2 de la partie limitée par C, ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

Les deux fonctions g : xx et f : xx+1x sont continues sur [1, 2] et, pour tout x de [1, 2] g(x) ≤ f(x). D’où l’aire cherchée est :

!=12[f(x)g(x)]dx=121xdx=[lnx]12 ; !=(ln2)cm20,7cm2.

11515_Maths_09_06

D Exemples d’unités d’aire

L’aire 𝒜 considérée dans les résultats des paragraphes A, B, C ci-dessus est exprimée en unités d’aire.

Dans un repère orthonormé (O ; i, j) l’unité d’aire est l’aire du carré défini par les vecteurs unitaires OI et OJ du repère.

Si sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées l’unité choisie est 1 cm, alors l’unité d’aire est 1 cm2 ; si l’unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l’unité d’aire est 4 cm2.11515_Maths_09_07

Dans un repère orthogonal (O ; i, j) l’unité d’aire est l’aire du rectangle défini par les vecteurs unitaires OI et OJ du repère.

Si l’unité choisie sur l’axe des abscisses est 2 cm et si l’unité sur l’axe des ordonnées est 1 cm, alors l’unité d’aire est 2 cm2.