L'ensemble de tous les nombres que vous avez étudiés jusqu'ici se note ℝ, ou ]–∞, +∞[ que l'on lit : « moins l'infini, plus l'infini ». Les nombres qu'il contient s'appellent les nombres réels.
I Représentation
Un intervalle de ℝ est un ensemble continu de réels, c'est-à-dire un ensemble sans trou.
L'ensemble des réels peut être représenté par un axe appelé droite réelle.
| Segments | Demi-droites | ||||
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| a ⩽ x ⩽ b | [a ; b](1)(3) |
| x ⩽ a | ]–∞ ; a](1) |
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| a ⩽ x b | [a ; b[(1)(4) |
| x a | ]–∞ ; a[(2) |
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| a x ⩽ b | ]a ; b](2)(3) |
| x > a | ]a ; +∞[(2) |
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| a x b | ]a ; b[(2)(4) |
| x ⩾ a | [a ; +∞[(1) |
À noter
Les crochets autour de –∞ et +∞ sont toujours ouverts.
(1) : fermé en a. (2) : ouvert en a.
(3) : fermé en b. (4) : ouvert en b.
II Intersection et union d'intervalles
L'intersection (symbole ∩ ; lire « inter ») de deux intervalles est un intervalle. Ce sont tous les réels qui appartiennent à la fois au premier et au deuxième intervalle.
Exemple : [–2 ; 5]∩] –3 ; 1[ = [–2 ; 1[
À noter
L'intersection de deux intervalles peut être vide. L'ensemble vide ∅ est un intervalle (par exemple ∅ = ]1 ; 1[).
L'union (symbole ∪ ; lire « union ») de deux intervalles n'est pas nécessairement un intervalle.
Exemple : ]–∞ ; 2[∪]4 ; +∞[ n'est pas un intervalle car entre les deux intervalles ]–∞ ; 2[ et ]4 ; +∞[ il y a le « trou » [2 ; 4].
1 Écrire et lire un ensemble de nombres sous forme d'intervalle
a. Quel est l'intervalle qui comprend les nombres x vérifiant –2 ⩽ x ⩽ 0 ?
b. Quels sont les nombres contenus dans l'intervalle ]3 ; 5] ?
c. Quel est l'ensemble des nombres symbolisé en rouge sur la figure ci-dessous ?
d. L'algorithme suivant affecte 1 à la variable V si le nombre N appartient à un certain intervalle. Quel est cet intervalle ? Dans quel intervalle se trouvent les nombres qui fournissent 0 ?
conseils
b. et c. Écrivez une double inégalité.
d. Le symbole ← signifie que la variable à gauche reçoit la valeur à sa droite.
solution
a. Il s'agit de l'intervalle [–2, 0].
b. x ∈]3 ; 5] ⇔ 3 x ⩽ 5
c. C'est l'ensemble des nombres x satisfaisant la double inégalité –1 ⩽ x ⩽ 1.
d. Il s'agit de l'intervalle ]8 ; +∞[. Le nombres qui fournissent 0 sont ceux de l'intervalle ]–∞ ; 8].
2 Trouver l'intersection et l'union d'intervalles
a. Trouver deux intervalles dont l'intersection est vide.
b. Trouver deux intervalles dont l'intersection comprend uniquement le nombre 2.
c. Est-il possible de trouver deux intervalles dont l'union soit vide ?
conseils
c. N'oubliez pas que l'ensemble vide ∅ est un intervalle !
solution
a. Par exemple [–3 ; –1] et [0 ; +∞[.
b. Par exemple [–8 ; 2]∩[2 ; 5].
c. Il y a une seule possibilité : ∅∪∅ = ∅ !