Intervalles de ℝ

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les nombres réels
 

L’ensemble de tous les nombres que vous avez étudiés jusqu’ici se note ℝ, ou ]–∞, +∞[ que l’on lit : « moins l’infini, plus l’infini ». Les nombres qu’il contient s’appellent les nombres réels.

I Représentation

Un intervalle de ℝ est un ensemble continu de réels, c’est-à-dire un ensemble sans trou.

L’ensemble des réels peut être représenté par un axe appelé droite réelle.

Segments

Demi-droites

04539_C03_01

a x b

[a ; b](1)(3)

04539_C03_02

x a

]–∞ ; a](1)

04539_C03_03

a x < b

[a ; b[(1)(4)

04539_C03_04

x < a

]–∞ ; a[(2)

04539_C03_05

a < x b

]a ; b](2)(3)

04539_C03_06

x > a

]a ; +∞[(2)

04539_C03_07

a < x < b

]a ; b[(2)(4)

04539_C03_08

x a

[a ; +∞[(1)

À noter

Les crochets autour de –∞ et +∞ sont toujours ouverts.

(1) : fermé en a. (2) : ouvert en a.

(3) : fermé en b. (4) : ouvert en b.

II Intersection et union d’intervalles

L’intersection (symbole ∩ ; lire « inter ») de deux ­intervalles est un intervalle. Ce sont tous les réels qui appartiennent à la fois au premier et au deuxième ­intervalle.

Exemple : [–2 ; 5]∩] –3 ; 1[ = [–2 ; 1[

À noter

L’intersection de deux intervalles peut être vide. L’ensemble vide est un intervalle (par exemple  = ]1 ; 1[).

L’union (symbole ∪ ; lire « union ») de deux intervalles n’est pas nécessairement un intervalle.

Exemple : ]–∞ ; 2[∪]4 ; +∞[ n’est pas un intervalle car entre les deux intervalles ]–∞ ; 2[ et ]4 ; +∞[ il y a le « trou » [2 ; 4].

 

Méthode

1 Écrire et lire un ensemble de nombres sous forme d’intervalle

a. Quel est l’intervalle qui comprend les nombres x vérifiant –2 ⩽ x ⩽ 0 ?

b. Quels sont les nombres contenus dans l’intervalle ]3 ; 5] ?

c. Quel est l’ensemble des nombres symbolisé en rouge sur la figure ci-dessous ?

04539_C03_09

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p085-118_C04_Algo_0

d. L’algorithme suivant affecte 1 à la variable V si le nombre N appartient à un certain intervalle. Quel est cet intervalle ? Dans quel intervalle se trouvent les nombres qui fournissent 0 ?

conseils

b. et c. Écrivez une double inégalité.

d. Le symbole signifie que la variable à gauche reçoit la valeur à sa droite.

 

solution

 

a. Il s’agit de l’intervalle [–2, 0].

b. x ∈]3 ; 5] 3 < x ⩽ 5

c. C’est l’ensemble des nombres x satisfaisant la double inégalité –1 ⩽ x ⩽ 1.

d. Il s’agit de l’intervalle ]8 ; +∞[. Le nombres qui fournissent 0 sont ceux de l’intervalle ]–∞ ; 8].

2 Trouver l’intersection et l’union d’intervalles

a. Trouver deux intervalles dont l’intersection est vide.

b. Trouver deux intervalles dont l’intersection comprend uniquement le nombre 2.

c. Est-il possible de trouver deux intervalles dont l’union soit vide ?

conseils

c. N’oubliez pas que l’ensemble vide est un intervalle !

 

solution

 

a. Par exemple [–3 ; –1] et [0 ; +∞[.

04539_C03_10

b. Par exemple [–8 ; 2]∩[2 ; 5].

c. Il y a une seule possibilité :  !