Intervalles et gammes

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : La musique ou l’art de faire entendre les nombres

Au vie siècle avant J.-C., le philosophe et mathématicien grec Pythagore associa l’art musical à des éléments mathématiques simples. La gamme qu’il élabora est à la base de l’écriture musicale

I Construction d’une gamme

1 Intervalle, octave et gamme

À noter

L’intervalle entre deux notes est défini par un rapport de fréquences, donc par une fraction et non une différence.

Quand on joue de la musique, l’oreille trouve agréables les rapports mathématiques simples qui existent entre les fréquences fondamentales des différentes notes.

Les intervalles les plus simples ont reçu des noms en rapport avec le nombre de notes qu’ils contiennent.

05293_C10_Fig29_01

Par exemple, la quinte est un intervalle comprenant une succession de cinq notes.

Rapport

21

32

43

54

Nom

Octave (huit notes)

Quinte (cinq notes)

Quarte (quatre notes)

Tierce majeure (trois notes)

Exemple

fdofdo

fsolfdo

ffafdo

fmifdo

Multiplier la fréquence par 43, c’est passer à la quarte supérieure, par exemple de do à fa. La multiplier par 32, c’est passer à la quinte supérieure, par exemple de do à sol.

Une gamme est l’ensemble des notes comprises dans une octave. Une note est à l’octave d’une autre si sa fréquence est le double de celle de la première : f2 = 2 × f1.

05293_C10_Fig29_02

Doc Gamme de Pythagore sur sept notes (do à si)

2 Consonance

Lorsque deux notes semblent liées et agréables à écouter, on dit qu’elles sont consonantes. Dans le cas contraire, on dit qu’elles sont dissonantes.

Prenons l’exemple du sol2 de fréquence fondamentale f = 98 Hz, du ré3 de fréquence fondamentale f′ = 147 Hz et de leurs harmoniques respectifs.

Note

Fréquences fondamentales

Fréquences des harmoniques

Sol2

98

 

196

294

392

 

490

588

3

 

147

 

294

 

441

 

588

Ces deux notes sont séparées par une quinte (147/98 = 3/2), mais elles ont aussi des harmoniques en commun ; c’est la raison pour laquelle elles nous semblent liées et agréables à entendre.

II La gamme naturelle de Pythagore

La légende veut que Pythagore ait trouvé agréables les sons obtenus en pinçant une corde divisée en 2, puis en 3, en 4.

Pour construire sa gamme, Pythagore utilise une quinte de rapport 3/2 afin de retrouver les rapports précédents. Le principe est simple : à partir d’une note de base, on prend la quinte pour obtenir une nouvelle note, plus aiguë. Puis, on prend la quinte de cette nouvelle note. Si la fréquence obtenue dépasse l’octave, alors on divise par deux autant de fois qu’il faut pour qu’elle retourne dans la gamme.

05293_C10_Fig29_03_

En classant les notes par ordre croissant de fréquence, on obtient les sept notes de la gamme de Pythagore : do, ré, mi, fa, sol, la et si. Le nom des notes date du xie siècle.

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