A Le mouvement plan de chute libre
Un système est considéré en chute libre lorsqu'il est uniquement soumis à son poids.
On considère un terrain de football et un ballon partant de l'origine 0(0 ; 0) d'un repère avec un vecteur vitesse faisant un angle α avec l'horizontale. Sa trajectoire sera parabolique (voir ci-contre).
L'étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l'ordre suivant :
le système est le ballon ;
le référentiel est le terrain de football, considéré comme galiléen pendant le tir ;
le bilan des forces se limite au poids = m., puisqu'il s'agit d'une chute libre ;
la deuxième loi de Newton s'écrit alors Σ ext = m , soit = m.. = m.. Ainsi = .
Or, le champ de pesanteur a comme coordonnées (0 ; – g), puisqu'il est vertical vers le bas, et sa norme est g. Le vecteur accélération a les mêmes coordonnées (t) (0 ; – g).
Le vecteur accélération est constant et vertical vers le bas :
le mouvement sera uniforme sur l'axe des abscisses puisque ax = 0 ;
le mouvement sera uniformément varié sur l'axe des ordonnées puisque ay = constante.
L'étude mécanique continue en intégrant les coordonnées du vecteur accélération (t) par rapport au temps afin de trouver celles du vecteur vitesse (t) (puisque le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps).
Une primitive de 0 est une constante C1 et une primitive d'une constante –g est une fonction affine –g × t + C2.
Ainsi, le vecteur vitesse a les coordonnées : (t) (vx(t) = C1 ; vy(t) = –g × t + C2).
C1 et C2 sont des constantes d'intégration, que l'on détermine grâce aux conditions initiales de vitesse du tir. Au temps t = 0, le vecteur vitesse est 0 (v0.cos α ; v0.sin α) (ses coordonnées sont obtenues en projetant l'hypoténuse v0 qui est la norme du vecteur), il doit être égal à (0) (vx(0) = C1 ; vy(0) = –g.0 + C2). On obtient alors C1 = v0.cos α et C2 = v0.sin α.
Le vecteur vitesse a donc pour coordonnées : (t) (vx(t) = v0.cos α ; vy(t) = –g.t + v0.sin α).
L'étude mécanique continue en intégrant les coordonnées du vecteur vitesse (t) par rapport au temps afin de trouver celles du vecteur position (t) (puisque le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps). Une primitive de v0.cos α est une fonction affine (v0.cos α) × t + C3 et une primitive de (–g.t + v0.sin α) est une fonction du second degré – ½ g.t2 + (v0.sin α) × t + C4.
Ainsi, le vecteur position a les coordonnées : (t) (x(t) = (v0.cos α).t + C3 ; y(t) = –½ g.t2 + (v0.sin α).t + C4).
C3 et C4 sont des constantes d'intégration, que l'on détermine grâce aux conditions initiales de position du tir. Au temps t = 0, le vecteur position est 0 = (0 ; 0) (le point de départ est l'origine), il doit être égal à (0) (x(0) = (v0.cos α).0 + C3 ; y(0) = –g.0 + (v0.sin α).0 + C4). On obtient alors C3 = 0 et C4 = 0.
Le vecteur position a donc pour coordonnées : (t) (x(t) = (v0.cos α).t ; y(t) = –½ g.t2 + (v0.sin α).t).
Le mouvement est bien uniforme selon x et uniformément varié selon y.
B Le mouvement rectiligne avec une force de frottement
On considère un ion de charge q = e dans une cuve d'électrophorèse comportant deux chevalets séparés d'une distance d et soumises à une tension U. Un champ électrostatique uniforme de norme E = est présent entre les armatures.
L'étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l'ordre suivant :
le système est l'ion ;
le référentiel est la cuve d'électrophorèse ou le laboratoire considéré comme galiléen pendant la manipulation ;
le bilan des forces comporte la force électrique e = q × ainsi qu'une force de frottement fluide colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse = –k × , où k est une constante pour la force de frottement. On considère que le poids est négligeable ;
la deuxième loi de Newton s'écrit alors Σ ext = m × = e + = q × – k × .
L'ion va accélérer jusqu'à ce que la force de frottement fluide compense la force électrique, alors l'accélération sera nulle : = , soit m × = = q × – k × .
La vitesse limite est déterminée par = soit en norme vlim = .
C Le mouvement rectiligne vertical avec frottement visqueux
On considère une bille lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux. L'étude mécanique de ce mouvement se fait de manière rigoureuse et dans l'ordre suivant :
le système est la bille ;
le référentiel est le tube contenant le liquide visqueux considéré comme galiléen pendant la manipulation ;
le bilan des forces comporte le poids = m × et aussi une force frottement fluide colinéaire et de sens contraire au vecteur vitesse = –k × . On considère que la poussée d'Archimède est négligeable ;
la deuxième loi de Newton s'écrit alors Σ ext = m × = + = m × – k × .
Or = , donc m × = m × – k × : c'est une équation différentielle du premier ordre en .
Le régime permanent sera atteint lorsque la force de frottement fluide compensera le poids, alors l'accélération sera nulle : = = , soit m × = = m × – k × .
La vitesse limite est déterminée par = soit en norme vlim = .
La solution de l'équation différentielle se trouve en deux étapes :
on recherche la solution générale de l'équation sans second membre en enlevant les vecteurs : m × = – k × v, soit = – × v, ce qui donne une solution v(t) = A × + B. Or à t = 0, v(0) = 0, ainsi 0 = A × + B = A + B, donc A = –B. Donc v(t) = B × (1 – ).
la solution particulière a été trouvée avant avec le régime permanent. La vitesse v(t) = B × (1 – ) est alors égale B et à la vitesse limite puisque exp(– ) tend vers 0. Ainsi, B = vlim = et donc v(t) = × (1 – ).
La courbe obtenue expérimentalement est présentée page suivante :
elle comporte d'abord le régime transitoire tant que la vitesse limite n'est pas atteinte,
puis le régime permanent, alors la bille a un mouvement rectiligne et uniforme puisque l'accélération est nulle.
Le temps caractéristique τ est trouvé graphiquement lorsque la tangente à la courbe au temps 0 croise l'asymptote v = vlim. Le régime transitoire dure 5 τ.
On peut montrer que τ = . La solution s'écrit alors v(t) = vlim × (1 – ).
