A Forme algébrique d'un nombre complexe

En Première, nous avons admis l'existence d'un nouvel ensemble des nombres, noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes.

z = a + bi, où a et b sont deux nombres réels et i tel que i² = – 1, est la forme algébrique du nombre complexe z.

B Opérations sur les nombres complexes

On peut définir dans ℂ une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans ℝ, avec i² = – 1.

C Opérations sur les nombres complexes

$\overline{z}=a-b\text{i}$ est le nombre complexe conjugué de z = a + bi.

EXEMPLE

Le nombre complexe conjugué de $z=6+2\sqrt{3}\text{i}$ est $\overline{z}=6-2\sqrt{3}\text{i}$.

Mettre sous la forme a + bi l'inverse d'un nombre complexe.

EXEMPLES

• On se propose de mettre sous la forme a + bi le nombre complexe $z_3=\frac{1}{3+2\text{i}}$, inverse de z₁ = 3 + 2i.

$z_3=\frac{3-2\text{i}}{(3+2\text{i})(3-2\text{i})}$, $z_3=\frac{3-2\text{i}}{9-4{\text{i}}^2}$, $z_3=\frac{3-2\text{i}}{9+4}\text{, }{z}_3=\frac{3}{13}-\frac{2}{13}\text{i}$.

• En procédant comme pour z₃, démontrer que :

$\frac{2-3\text{i}}{-4-\text{i}}=\frac{5}{17}+\frac{14}{17}\text{i}$

Propriétés

Pour tous nombres complexes z₁ et z₂ :

• $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ ; • $\overline{z_1\times z_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$ ; • $z_1\ne 0$, $\left(\frac{\overline{1}}{z_1}\right)=\frac{1}{\overline{z_1}}$ ; • $z_2\ne 0$, $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.