L'étude statistique

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Classe(s) : 1re ST2S | Thème(s) : Préambule : mesures et incertitudes

On ne mesure pas une grandeur seulement pour obtenir la valeur de cette grandeur mais aussi pour lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier la qualité de la mesure. Cette incertitude est liée aux erreurs de mesures qui peuvent être dues à l’instrument de mesure (précision, entretien, etc.), à l’opérateur ou à la variabilité de la grandeur mesurée. L’incertitude de mesure est la valeur qui caractérise la dispersion des valeurs qui peuvent être attribuées à la grandeur mesurée. On la note u.

A Exploiter une série de mesures

On considère la série suivante de mesures de la masse d’une femme de 17 ans.

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : 57,0; 57,2; 57,1; 57,2; 57,5; 57,1; 57,1; 57,0; 56,9; 57,0; Ligne 2 : 56,8; 57,3; 57,5; 57,1; 57,1; 56,8; 57,3; 57,4; 57,2; 57,1;

On peut regrouper ces mesures par tranche de 0,2 kilogramme et ensuite les représenter par un histogramme.

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Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Masse m (kg); 56,8 à 56,9; 57,0 à 57,1; 57,2 à 57,3; 57,4 à 57,5; Ligne 2 : Nombre de mesures; 3; 9; 5; 3;

La moyenne de cette série est la somme des mesures divisée par le nombre de mesures :

m¯=1ni=1nmi=57,1 kg

L’écart-type σn–1 indique la dispersion des mesures autour de la moyenne : σn1=1n1i=1n(mim¯)2

Remarque

Plus les valeurs sont proches de la valeur moyenne et plus l’écart-type est faible.

B L’incertitude-type

Les erreurs de mesure sont de deux types : aléatoire ou systématique.

aL’incertitude-type aléatoire ou de répétabilité UA

Lorsqu’une même personne répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, la mesure d’une même grandeur, les valeurs obtenues peuvent être différentes : il s’agit d’erreurs de mesure aléatoires. L’incertitude associée est une incertitude de répétabilité UA dite de type A, pouvant être évaluée par des méthodes statistiques. On utilise la moyenne et l’écart-type σn–1, issus de l’exploitation d’un nombre important de valeurs mesurées : UA = 2uA2σn1n.

bL’incertitude-type systématique UB

Il faut prendre en compte la précision de l’appareil de mesure, la façon dont il est utilisé et la qualité du mesurage. L’erreur correspondante est l’erreur systématique et l’incertitude associée est dite de type B. Alors, l’incertitude de mesure est l’incertitude élargie UB = 2UB, pour un niveau de confiance de 95 %.

Exemples

Détermination de quelques erreurs systématiques

Pour la mesure avec un instrument à affichage digital, l’incertitude est égale à 1 unité du dernier chiffre stable affiché à l’écran. Ici l’incertitude sur la pression est u= 1 hPa et l’incertitude élargie à 95 % est UB(P) = 2uB(P) = 2 hPa. Ainsi la pression est P = 975 ± 2 hPa.

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Pour la mesure avec un instrument gradué, l’incertitude peut être considérée comme égale à la moitié de la plus petite graduation de l’appareil. Ici, l’incertitude sur la température est uB = 0,5 °C et l’incertitude élargie à 95 % est UB(T) = 2uB(T) = 1 °C. Ainsi la température est T = 20 ± 1 °C.

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cL’incertitude-type composée U

Il faut associer les 2 incertitudes-types afin de trouver l’incertitude-type composée.

Le résultat de la mesure est la somme de la valeur vraie de l’erreur aléatoire et de l’erreur systématique.

Ainsi, si l’on dispose d’un ensemble de mesures d’une grandeur X, où chacune d’entre elles est affectée d’une incertitude de type B, on obtient l’incertitude-type composée : =uA2+uB2 ; U = 2u ; M = m¯±U

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Le résultat X des mesures est donc : X = x ± U(X), où x est la moyenne des mesures et U(X) est l’incertitude élargie à 95 % de confiance.

dL’incertitude-type sur une mesure indirecte

Une mesure indirecte d’une grandeur X consiste à mesurer plusieurs grandeurs physiques a, b, etc. et de calculer X à partir de ces grandeurs mesurées.

La relation permettant le calcul d’une mesure indirecte sera toujours donnée.

C Écrire le résultat d’une mesure

En physique, le nombre de chiffres avec lequel on écrit une valeur correspond aux chiffres significatifs.

Les règles pour compter les chiffres significatifs (CS) sont :

1. Pour une valeur écrite en notation non scientifique, tous les chiffres sont significatifs, sauf les zéros au début de la valeur.

2. Dans le cas d’une valeur écrite en notation scientifique sous la forme a × 10n, les chiffres qui composent l’écriture de a sont significatifs.

Exemples

d = 625,2 m : cette valeur comporte 4 CS

d = 6,28 × 102 m : cette valeur comporte 3 CS

d = 0,62 × 103 m : cette valeur comporte 2 CS

d = 6,20 × 102 m : cette valeur comporte 3 CS

3. Les zéros : un zéro à gauche d’un nombre n’est jamais significati mais un zéro à droite d’un nombre est significatif.

La valeur d’une grandeur physique doit être écrite afin que le dernier chiffre écrit soit le seul chiffre affecté par l’incertitude.

Ainsi, l’incertitude doit s’exprimer avec un seul chiffre et l’estimation de la grandeur mesurée admet comme dernier CS celui de même position que celui de l’incertitude.

Exemple

La mesure d’une intensité électrique donne une valeur I = 50,15875 A avec une incertitude U(I) = 0,09258 A.

On garde tout d’abord un chiffre pour l’incertitude U(I) = 0,09 A, puis on exprime le résultat de l’intensité mesurée I avec comme dernier chiffre significatif, l’arrondi à deux chiffres après la virgule : I = 50,16 ± 0,09 A.

D Évaluer et améliorer l’acceptabilité d’un résultat

Il est possible de comparer la valeur mesurée I avec une valeur de référence Iréf en calculant leur écart relatif : |IIréfIréf| souvent exprimé sous la forme d’un pourcentage. Plus il est faible et plus la mesure donne un résultat proche de celui attendu.

E Améliorer une mesure

La mesure est d’autant meilleure que son incertitude de mesure est faible. Pour l’améliorer, il est possible :

d’augmenter le nombre de mesures, puisqu’une série de mesures a une incertitude plus faible qu’une mesure ponctuelle et d’éliminer les valeurs aberrantes ;

d’exploiter les appareils de mesures dans la gamme de valeur où leur précision est la meilleure et de les contrôler ;

de faire réaliser des mesures dans un laboratoire certifié afin de valider la qualité des mesures des appareils.

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