La démonstration


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Classe(s) : Tle ES - Tle L - Tle S | Thème(s) : La démonstration
Corpus Corpus 1
La démonstration
séries L•ES•S

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La démonstration est sans doute la forme la plus rigoureuse de la pensée. C’est pourquoi elle peut sembler en proposer la forme idéale ou parfaite. Mais est-elle possible en tous domaines ?

1Les mathématiques, modèle de rigueur démonstrative

AVertu pédagogique des mathématiques

Pour Platon, l’univers mathématique constitue le premier degré du monde intellectuel (dont le deuxième degré rassemble les Idées) : ses notions ne sont pas de notre monde – bien qu’elles puissent y trouver des applications.

Le raisonnement mathématique, qui procède « par hypothèse », constitue un entraînement à la réflexion philosophique, en nous habituant à réfléchir sur des concepts sans représentation adéquate.

BUn modèle pour la philosophie ?

Descartes confirme la pureté des mathématiques, qui « traitent d’un objet assez pur et simple pour n’admettre absolument rien que l’expérience ait rendu incertain ». Leur clarté provient donc de leur distance relativement aux « expériences trompeuses ». La déduction (ou inférence) « ne saurait être mal faite même par l’entendement le moins capable de raisonner ».

Pour rendre sa pensée aussi contraignante qu’une démonstration mathématique, Spinoza rédige son Éthique « à la manière des géomètres » : il pose définitions et axiomes, puis en déduit des propositions philosophiques démontrées. Il sera toutefois le seul philosophe à suivre de la sorte un modèle mathématique.

2A priori et vérités

AL’a priori rompt avec l’empirisme

Démontrer, c’est n’admettre comme nécessité que celle dont décide la raison elle-même. C’est, comme l’a montré Kant, travailler sur des notions entièrement a priori qui ne doivent leurs propriétés qu’à leurs définitions.

Les propriétés d’une figure géométrique ne dépendent pas de ce que son dessin (toujours approximatif) suggère, mais uniquement de sa définition et de ce qui peut en dériver. Le triangle ne peut donc être perçu empiriquement, pas plus qu’un nombre ou une relation.

BPure, la démonstration mathématique élabore des vérités formelles

On a longtemps admis que les mathématiques se fondaient sur des propositions irréfutables, « évidentes » et universelles. Contredire de tels axiomes (par exemple, « le tout est plus grand que la partie ») serait un déni de rationalité.

En élaborant, au xixsiècle, des géométries qui ne respectent pas le cinquième postulat d’Euclide, Lobatchewski et Riemann ont montré que celui-ci n’avait rien de nécessaire : l’espace euclidien, loin d’être le seul, n’est qu’un espace parmi d’autres concevables.
La déduction mathématique peut donc être effectuée à partir d’un ensemble d’axiomes dont la mise au point n’obéit qu’à des règles de cohérence interne.

La vérité des systèmes mathématiques, dits hypothético-déductifs, est formelle, c’est-à-dire « vide » : la proposition 7 = 12, vraie en arithmétique classique, n’évoque aucun objet du monde.

CLa démonstration philosophique est moins pure

La démonstration mathématique confirme – ce que soulignait déjà Aristote – que la pensée ne peut pas régresser à l’infini, c’est-à-dire être sans début repérable : il lui faut toujours des points de départ.

Ces points de départ varient d’un philosophe à l’autre, en fonction du contexte intellectuel, de l’avancée des savoirs, de l’état de la société. Ils constituent des sortes d’axiomes intuitifs à partir desquels chaque système philosophique est élaboré : opposition entre sensible et intellectuel chez Platon, antériorité de l’existence sur l’essence chez Sartre.

Conclure

La démonstration philosophique consiste à déduire tout ce qui est possible des axiomes posés comme points de départ. Mais elle ne sera jamais aussi rigoureuse qu’en mathématiques?: les énoncés philosophiques ne sont pas « vides », ils ambitionnent au contraire de formuler des vérités qui concernent la vie des hommes.

 

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