A Énoncé

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse de ce système par son vecteur accélération : Σ $\overrightarrow{\text{F}}$_ext = m × $\overrightarrow{\text{a}}$.

B Le cas d'une chute libre verticale

Lorsqu'un objet est en chute libre, il n'est soumis qu'à son poids $\overrightarrow{\text{P}}$= m × $\overrightarrow{\text{g}}$.

On considère une bille d'acier placée à une hauteur h = 1,0 m et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Cette bille est dense, elle ne subira que très peu les frottements de l'air et la poussée d'Archimède : elle est en chute libre.

On écrit alors la deuxième loi de Newton appliquée à la bille : Σ$\overrightarrow{\text{F}}$_ext = m × $\overrightarrow{\text{a}}$, or Σ $\overrightarrow{\text{F}}$_ext =  $\overrightarrow{\text{P}}$= m × $\overrightarrow{\text{g}}$, ainsi m × $\overrightarrow{\text{a}}$ = m × $\overrightarrow{\text{g}}$, donc l'accélération est égale au champ de pesanteur $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{g}$.

Si on considère la chute de la bille sans vitesse initiale, elle est verticale, on n'utilise qu'un axe que l'on choisit orienté vers le haut. Le vecteur poids a une seule coordonnée P_y = – m × g, donc le vecteur accélération a une seule coordonnée a_y = – g.

On détermine alors le vecteur vitesse ayant une coordonnée v_y(t) = – g × t + C, C étant une constante. Or à t = 0, v = 0, ainsi v_y(0) = – g × 0 + C = C, ainsi la constante est nulle. Donc v_y(t) = – g × t.

De même v_y = $\frac{\overrightarrow{\text{dy}}}{\text{dt}}$, on obtient donc la position y(t) de la bille en intégrant la coordonnée du vecteur vitesse. y(t) = – $\frac{1}{2}$ × g × t² + C′, C′ étant une constante. Or à t = 0, y = h, ainsi y(0) = – $\frac{1}{2}$ × g × 0² + C′ = C′, donc la constante vaut h = 2,0 m. Donc y(t) = – $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ × g × t² + h.

L'équation horaire de la position verticale est donc de la forme parabolique.

Il est possible de déterminer la date à laquelle la bille atteindra le sol, alors y(t) = 0, soit $\frac{1}{2}$ × g × t² + h = 0, ainsi t² = 2 × $\frac{\text{h}}{\text{g}}$ et t =${\left(\text{2}\frac{\text{h}}{\text{g}}\right)}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}}$.

Si on étudie l'évolution de la position de la bille à intervalle de temps constant (chronophotographie), on notera des points de plus en plus distants au cours du temps (fig. 1).

Dans le cas où des forces de frottements fluides interviennent, la vitesse augmente jusqu'à atteindre une valeur limite. Ceci se produit lorsqu'une bille est lâchée dans de l'huile : l'accélération de la bille diminue et le mouvement devient rectiligne et uniforme car les forces appliquées se compensent (fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2