La dynamique des solides

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Dynamique des solides

La dynamique des solides

Le mouvement d’un objet est intimement lié aux actions mécaniques qu’il subit. On peut donc anticiper les variations de vitesse ou de trajectoire d’un moyen de transport de biens ou de personnes, en étudiant les forces qui s’exercent sur lui.

1Les forces et les couples de forces

A De l’action mécanique à la force qui la modélise

On appelle action mécanique tout phénomène susceptible de :

– mettre en mouvement un objet ;

– modifier le mouvement ou la trajectoire d’un objet ;

– déformer un objet.

On distingue deux types d’actions mécaniques :

– s’il y a contact entre l’objet extérieur et l’objet étudié, on parle d’action mécanique de contact ;

– s’il n’y a pas contact entre l’objet extérieur et l’objet étudié, on parle d’action mécanique à distance.

B La notion de force

Une action mécanique exercée par un objet A sur un objet B peut être modélisée par une force : la force exercée par A sur B. Les caractéristiques d’une force sont :

– son point d’application (le point sur lequel elle s’exerce) ;

– sa direction (ou droite d’action) ;

– son sens (sens de son action sur sa droite d’action) ;

– sa valeur (exprimée en Newton de symbole N).

On représente une force par un vecteur contenant toutes les caractéristiques de la force qu’il représente. Ici, on l’écrirait FA/B.

C Exemples de forces

1. Le poids 1250_02_48illb

Tout corps à la surface de la Terre est soumis à l’attraction terrestre. La force exercée par la Terre sur un objet de masse m est appelée le poids.<B> </B>Caractéristiques du poids  :  :sur un objet de masse m est appelée le poids.

12050_02_37_stdi

Les caractéristiques du poids sont P : P=mg :

– son point d’application : centre de gravité (centre d’inertie) de l’objet ;

– sa direction : verticale ;

– son sens : vers le bas ;

– sa valeur : P = m.g  où :  m est la masse de l’objet (en kg),

  g est l’intensité de pesanteur (g = 9,81 N.kg1)

Remarque

C’est une force à distance.

EXEMPLE

En prenant g = 10 N.kg1, la valeur du poids d’une personne de 80 kg est P = 80 × 10 = 800 N.

2. Les forces de frottement solide 1250_02_48illc

Deux objets en contact exercent l’un sur l’autre des forces de frottement solide. La force exercée par un support sur un solide, notée R, est une force répartie sur la surface de contact entre le solide et le support. Il est commode de décomposer la force R selon deux composantes :

– une composante normale RN, dont la direction est perpendiculaire à la surface de contact (elle représente le fait que le solide ne passe pas à travers le support) ;

– une composante tangentielle RT, tangente à la surface de contact (elle représente les frottements entre le solide et le support), on note aussi f.

La force R est la somme vectorielle de ses deux composantes : R=RN+RT

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Cas particulier : si les frottements sont négligés, alors RT=0. Dans ce cas, R=RN.

EXEMPLE

Les frottements de la roue de vélo sur le sol permettent au cycliste d’avancer. S’il n’y a pas de frottements, la roue glisse sur le sol.

3. La traînée 1250_02_48illd

Un objet solide se déplaçant dans un fluide (l’eau, l’air…) subit une force de frottement fluide. Elle dépend du fluide, de la géométrie de l’objet, de sa vitesse par rapport au fluide et de la texture de la surface de l’objet. Cette force est parfois négligée.

Lorsqu’un objet se déplace à grande vitesse par rapport à un fluide de masse volumique ρfluide, il est soumis à une force de résistance aérodynamique appelée traînée, notée T, dont les caractéristiques sont les suivantes :

– son point d’application : un point de la surface de l’objet ;

– sa direction : direction du mouvement de l’objet ;

– son sens : dans le sens opposé à celui du mouvement de l’objet ;

– sa valeur : T = ½.CX.ρfluide.S.v2

Remarque

Cx dépend de la forme de l’objet et de la texture de sa surface ; il est mesuré en ­soufflerie. Il est de l’ordre de 0,01 pour une aile d’avion et varie entre 0,1 et 0,4 pour les auto­mobiles.

où : ρfluide est la masse volumique du fluide en kilogramme par mètre cube (kg.m3),

 S est la surface frontale de l’objet en mètre carré (m2),

 v est la vitesse de l’objet par rapport au fluide en mètre par seconde (m.s1),

 Cx est le coefficient de traînée (sans unité).

Exercice résolu

Énoncé

Une automobile se déplace à la vitesse de 130 km.h1. Calculer la force de frottement due à l’air. À quelle vitesse cette automobile devrait-elle se déplacer pour réduire de moitié les frottements.

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Données :  Masse volumique de l’air ρ = 1,2 kg.m3 ;

 Pour cette automobile, Cx = 0,35 et S = 2,3 m2.

Corrigé

On calcule T après avoir converti la vitesse en m.s1. v = 130 km.h1 = 1303,6 m.s= 36,1 m.s1. Donc T = ½ × 0,35 × 1,2 × 2,3 × 36,12 = 6,3 × 102 N.

On appelle T la valeur de la force de frottement réduite de moitié : T =T2.

Dans la formule de la trainée, seule la vitesse change. On la note v.

Donc T = ½.CX. ρfluide.S.v2 = T2 = ½ × ½.CX. ρfluide.S.v2. Ainsi, après simplification, v2 = ½ v2.

Finalement on obtient v = 12 v = 26 m.s-1 = 92 km.h1.

4. La poussée d’Archimède 1250_02_48ille

Tout corps immergé dans un fluide (air, eau…) de masse volumique ρfluide subit une force de pression de même direction que son poids mais de sens opposé : c’est la poussée d’Archimède, notée Π. Les caractéristiques de la poussée Π sont :

– son point d’application : le centre de gravité du volume de fluide déplacé G ;

– sa direction : verticale ;

– son sens : vers le haut ;

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– sa valeur : elle est égale à la valeur du poids du volume Vdéplacé de fluide déplacé par le solide immergé :

Π = ρfluide.Vdéplacé.g

où :  ρfluide s’exprime en kilogramme par mètre cube (kg.m3),

 Vdéplacé s’exprime en mètre cube (m3),

 le champ de pesanteur g = 9,81 N.kg-1.

D Les forces et les mouvements de rotation

1. Le moment d’une force

Le moment M d’une force de valeur F par rapport à un point O, mesure la capacité pour cette force de faire tourner un système autour du point O. Soit M le point d’application de F et α l’angle entre OM et F. La valeur de M est donnée par :

M = F.OM.sinα où  Μ s’exprime en newton par mètre (N.m1),

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 F s’exprime en newton (N),

 d s’exprime en mètre (m),

 α s’exprime en degrés

Le moment est une grandeur algébrique. Après avoir défini un sens positif de la rotation, il faut déterminer le signe du moment. Si la force contribue à la rotation du système dans le sens positif, son moment est positif. Dans le cas contraire, il est négatif.

EXEMPLE

Une main exerce une force F de valeur F = 100 N faisant un angle α = 70 ° par rapport à la clé. Le point d’application de F, noté M, se trouve à une distance de 22 cm du centre de l’écrou, noté O. Le moment de cette force par rapport au centre de l’écrou vaut

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M = F × OM × sinα = 100 × 0,22 × sin70 = 21 N.m.

2. Un couple de forces

Un couple de forces est l’ensemble formé par deux forces F1 et F2 telles que :

F1F2 =0

F1 et F2 ont des droites d’action identiques.

3. Le moment d’un couple de forces

La valeur du moment M d’un couple de forces F1 et F2 dont les points d’application M1 et M2 sont alignés avec le point O autour duquel l’objet est en rotation est donnée par :

M = F × M1M2 × sin α où : F = F= F2 s’expriment en newton (N),

 d = M1 M2 s’exprime en mètre (m),

 α est l’angle entre OM1 et F1 s’exprime en degrés (°),

 M moment du couple de force en newton mètre (N.m).

Après avoir défini un sens positif de la rotation, il faut déterminer le signe du moment. Si le couple de forces contribue à la rotation du système dans le sens positif, son moment est positif. Dans le cas contraire, il est négatif.

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2Le travail, un mode de transfert d’énergie

Le travail d’une force mesure l’effet de cette force sur le déplacement de son point d’application :

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– si cette force contribue au déplacement de son point d’application, on dit que son travail est moteur ;

– si cette force tend à s’opposer au déplacement de son point d’application, on dit que son travail est résistant.

Remarque

Il faut bien distinguer un « travail physique » du « travail en physique ». Si l’on pousse un mur, le mur ne bouge pas. La force que l’on exerce sur le mur ne travaille pas.

A Définition du travail

1. Le travail d’une force constante

Le travail WAB(F) d’une force constante F, lorsque son point d’application se déplace d’un point A jusqu’à un point B, a pour expression :

WAB(F) = F.AB.cos αoù : F : la force considérée en newton (N),

 AB : longueur du déplacement en mètre (m),

 α : l’angle entre AB et F, il s’exprime en degré (°),

 WAB(F) : travail de F s’exprime en joule (J).

EXEMPLEs

Calculer le travail de la force F (F = 100 N) sur le chemin AB = 10 m.

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PB_9782216133727_T_STI2D-STL_02_Phys_Chimie_Tab_20

2. Le travail d’un couple de forces constant

Le travail WAB(F1,F2) d’un couple de forces F1 et F2 constant qui s’applique sur un solide en rotation autour d’un point O, balayant un angle θ a pour expression :

WAB(F1,F2) = M × θ où : M : moment du couple, en newton mètre (N.m),

 θ : angle balayé en radian (rad),

 WAB(F1,F2) : travail du couple de forces en joule (J).

Exercice résolu

Énoncé

Calculer le travail d’un couple de forces (F1 = F2 = 70 N) exercées par un tournevis sur une vis pendant trois tours de vis. On suppose que le point d’application de chaque force du couple se situe à une extrémité de la tête de vis de diamètre 8,0 mm.

Corrigé

On commence par calculer le moment du couple de forces de valeurs F = F1 = F2 = 70 N. Les points d’application M1 et M2 sont distants de M1M2 = 8,0 mm = 8,0 × 10-3 m. Les forces F1 etF2 sont orthogonales au diamètre de la tête de vis, donc α = 90 °.

M = F × M1M2 × sinα = 70 × 8,0 × 103 × 1 = 0,56 N.m.

On calcule enfin le travail. La vis fait trois tours donc θ = 3 × 2π

Ainsi WAB(F1,F2) = M × θ = 0,56 × 6π = 11 J.

B La puissance moyenne

La puissance moyenne Pmoy associée à une force ou à un couple de force au cours d’un déplacement entre deux points A et B, de durée Δt est définie par :

Pmoy = WΔt où : Δt : durée du déplacement entre A et B, en seconde (s)

  W : travail de la force ou du couple sur AB, en joule (J)

  Pmoy : puissance moyenne en watt (W)

Remarque : Pour un couple de moment constant M, la puissance moyenne peut également s’écrire Pmoy = M × ω où :  M s’exprime en N.m

 ω est la vitesse de rotation, elle s’exprime en rad.s1

Exercice résolu : Élévation d’un monte-charge

Énoncé

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Un monte charge de masse m = 500 kg s’élève à vitesse constante v = 2,0 m.s1, grâce à l’enroulement d’un câble autour du tambour (rayon r = 30 cm) d’un treuil.

1. Calculer le travail, puis la puissance du poids pendant un déplacement de 15,0 s.

2. Déduire du principe d’inertie, la valeur de la force exercée par le câble sur le monte-charge.

3. Cette force est transmise le long du câble. Quelle est la valeur de la force exercée par le tambour sur le câble ?

4. Calculer la puissance de cette force pendant le déplacement du monte-charge.

Donnée : g = 10 N.kg1.

Corrigé

1. Calculons d’abord la distance AB parcourue par le monte-charge :

AB = v × Δt = 2,0 × 15,0 = 30 m.

Calculons ensuite le travail du poids P du monte-charge pendant le déplacement entre les points A et B. P = m × g = 5,0 × 103 N. WAB(P) = P × AB × cosαα est l’angle entre AB et P : α = 180°.

WAB(P) = 5,0 × 103 × 30 × ( 1) = 1,5 × 105 J. Ce travail est négatif car le travail du poids est résistant au cours de la montée.

D’où la puissance Pmoy = WAB(P)Δt = 1,5×10515,0 = 1,0 × 10W = 10 kW.

2. Le monte-charge est soumis à deux forces : son poids P et la force F exercée par le câble sur lui. Le monte-charge a un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre, donc d’après le principe d’inertie, les forces qui s’exercent sur lui se compensent : PF = 0, c’est-à-dire P = F donc ces deux forces ont la même valeur : F = P = 5,0 × 103 N.

Énoncé

Un monte charge de masse m = 500 kg s’élève à vitesse constante v = 2,0 m.s1, grâce à l’enroulement d’un câble autour du tambour (rayon r = 30 cm) d’un treuil.

1. Calculer le travail, puis la puissance du poids pendant un déplacement de 15,0 s.

2. Déduire du principe d’inertie, la valeur de la force exercée par le câble sur le monte-charge.

3. Cette force est transmise le long du câble. Quelle est la valeur de la force exercée par le tambour sur le câble ?

4. Calculer la puissance de cette force pendant le déplacement du monte-charge.

Donnée : g = 10 N.kg1.

Corrigé

1. Calculons d’abord la distance AB parcourue par le monte-charge :

AB = v × Δt = 2,0 × 15,0 = 30 m.

Calculons ensuite le travail du poids P du monte-charge pendant le déplacement entre les points A et B. P = m × g = 5,0 × 103 N. WAB(P) = P × AB × cosαα est l’angle entre AB et P : α = 180°.

WAB(P) = 5,0 × 103 × 30 × ( 1) = 1,5 × 105 J. Ce travail est négatif car le travail du poids est résistant au cours de la montée.

D’où la puissance Pmoy = WAB(P)Δt = 1,5×10515,0 = 1,0 × 10W = 10 kW.

2. Le monte-charge est soumis à deux forces : son poids P et la force F exercée par le câble sur lui. Le monte-charge a un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre, donc d’après le principe d’inertie, les forces qui s’exercent sur lui se compensent : PF = 0, c’est-à-dire P = F donc ces deux forces ont la même valeur : F = P = 5,0 × 103 N.

3. La valeur de la force F2 exercée par le tambour sur le câble est égale à celle de la force exercée par le câble sur le monte charge donc F = F = 5,0 × 103 N.

4. La force F2 s’oppose à la rotation du tambour du treuil. Donc le moment de F2 est négatif. Le moment de la force F2 par rapport à l’axe du tambour vaut :

M =  F.r.sinα soit avec α = 90°, sinα = 1.

Donc M = F × r × sinα = 5,0 × 103 × 0,30 = 1,5 × 103 N.m.

ω=vr=6,75s1

Ainsi la puissance de cette force vaut : M × ω = 1,5 × 103 × 6,7 = 10 × 103 W =  10 kW.

C Le travail et l’énergie cinétique

1. Cas d’un solide en translation

Dans le cas d’un mouvement de translation, l’énergie cinétique Ec d’un solide de masse m se déplaçant à la vitesse v, est telle que :

Ec = ½ m.v2 où : m : masse en kilogramme (kg)

 v : vitesse en mètre par seconde (m.s1)

 Ec : énergie cinétique en joule (J)

Dans le référentiel terrestre, la variation d’énergie cinétique d’un solide en translation entre deux dates tA et tB, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre les points A et B.

C’est le théorème de l’énergie cinétique : ECB ECA = WAB(Fext)

Exercice résolu : Distance de freinage

Énoncé

Une automobile (m = 1 380 kg) roule sur une route horizontale et rectiligne à la vitesse v = 80 km.h1. Tout à coup, elle freine et parcourt une distance d = 400 m avant de s’immobiliser. Tout se passe comme si l’automobile était soumise à une force de freinage F constante tout au long de la distance d et dont la direction est parallèle à la route.

1. Répertorier toutes les forces qui s’exercent sur l’automobile.

2. Déterminer la valeur de la force F.

Corrigé

1. La voiture est soumise aux forces suivantes :

– le poids de la voiture : P ;

– la composante normale de la force exercée par la route sur la voiture : RN ;

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– l’ensemble des forces de frottement qui permettent l’arrêt de la voiture : F.

On ne prend pas en compte la traînée.

2. On note A le point à partir duquel l’automobile commence à freiner et B le point où elle s’arrête. Entre ces deux points, cette automobile a un mouvement de translation dans le référentiel terrestre.

On utilise le théorème de l’énergie cinétique entre les points A et B. La variation d’énergie cinétique de l’automobile entre A et B est telle que :

EcB EcA = WAB(P) + WAB(RN) + WAB(F)

Le poids P et la réaction normale de la route RN étant deux forces orthogonales au déplacement de l’automobile entre A et B, ces deux forces ne travaillent pas :

WAB(P) = 0 J et WAB(RN) = 0 J.

Le travail de la force F est WAB(F) = F × AB × cos(180) = F × d

Au point B, l’automobile est à l’arrêt : EcB = ½ × m × vB2 = 0

Au point A, vA = 80 km.h1 = 80/3,6 m.s= 22 m.s1 : EcA = ½ × m × vA2

Donc  ½ m.vA2 = F × d, F = ½ × m × vA2/d = 852 N.

2. Cas d’un solide en rotation

L’énergie cinétique Ec d’un solide de masse m en rotation autour d’un axe fixe à la vitesse angulaire ω s’exprime :

Ec = ½ J.ω2 où : J : moment d’inertie en kilogramme mètre carré (kg.m2)

 ω : vitesse angulaire en radian par seconde (rad.s1)

 Ec : énergie cinétique en joule (J)

Dans le référentiel terrestre, la variation d’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe entre deux dates tA et tB, est égale à la somme des travaux des couples de forces appliquées au solide entre les points A et B.

C’est le théorème de l’énergie cinétique : ECB ECA =WAB(F1,F2)

Exercice résolu

Énoncé

Une hélice (moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation de l’hélice J = 5 000 kg.cm2) a une vitesse de rotation constante de 1 200 tr.min1. Lorsque l’on coupe le moteur, l’hélice s’arrête en 80 tours.

1. Calculer la variation d’énergie cinétique de rotation liée à cet arrêt.

2. En déduire le moment (supposé constant) des forces de frottement qui s’exerce sur l’hélice pour l’arrêter.

Corrigé

1. On note tA l’instant où l’on coupe le moteur et tB l’instant où l’hélice s’immobilise.

Dans le référentiel terrestre, la variation d’énergie cinétique de rotation s’exprime par ΔEc = EcB EcA = ½ JωB2 ½ JωA2, or ωB = 0, donc ΔEc =  ½ JωA.

ωA = 1 200 tr.min1 = 2π × 1 200/60 = 126 rad.s1 et J = 5 000 kg.cm2 = 0,5000 kg.m2, soit ΔEc =  ½ JωA =  0,5 × 0,5000 × 1262 =  3,97 × 103 J.

2. Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit ΔEc = ΣM × θ. Ici, seule les forces de frottement travaillent, donc ΔEc = M × θ, avec θ = 80 tours = 2π × 80 = 503 rad.

Finalement, le moment de la force vaut M = ΔΕΧθ =  7,9 N.m.

3Les forces et l’accélération

Un système mécanique est une partie de l’univers. Tout ce qui n’appartient pas au système constitue le milieu extérieur. Exemples de systèmes : un parachutiste, une automobile, une roue de vélo…

Pour effectuer un bilan de forces qui s’exercent sur un système donné, on cherche tous les objets extérieurs avec lesquels il est en interaction, puis on répertorie toutes les forces extérieures qui s’exercent sur le système étudié. La somme vectorielle de toutes ces forces est la résultante des forces.

L’accélération a d’un solide en translation à la vitesse v est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

a=dvdt où : a : accélération en mètre par seconde au carré (m.s2)

 v : vitesse en mètre par seconde (m.s1)

En norme : a=dvdt

Dans le référentiel terrestre, l’accélération a d’un objet de masse m en translation et la résultante des forces qui s’exercent sur lui ΣΦ sont liées par la relation :

m × a = SF  où : m : masse en kilogramme (kg)

 a : accélération en mètre par seconde au carré (m.s2)

 ΣF : somme vectorielle des forces dont la valeur est en newton (N)

L’accélération angulaire α d’un solide en rotation à la vitesse angulaire ω est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps.

α = dwdt où : α : accélération angulaire en radian par seconde au carré (rad.s2)

 ω : vitesse angulaire en radian par seconde (rad.s1)

Dans le référentiel terrestre, la valeur de l’accélération angulaire α d’un objet de moment d’inertie J et la valeur du moment résultant qui s’exerce sur lui ΣM sont liés par la relation :

J × α = ΣM où :  J : moment d’inertie en kilogramme mètre carré (kg.m2)

  α s’exprime en radian par seconde au carré (rad.s2)

  ΣM : somme des moments des forces en newton mètre (N.m)

Exercice résolu

Énoncé

Une moto roule à 130 km.h1. Le conducteur freine et la vitesse diminue à 110 km.h1 en 3,0 s. Le système {moto + motard} pèse 250 kg. On suppose que le motard n’utilise que son frein avant pour ralentir. La roue avant a un diamètre de 70 cm et un moment d’inertie J = 0,60 kg.m2. Elle est équipée d’un disque de frein de 25 cm de diamètre.

1. Calculer la valeur de l’accélération de la moto (considérée comme constante) pendant la phase de la décélération.

2. En déduire la valeur de la force exercée par la route sur la moto pour permettre le freinage.

3. Calculer la vitesse de rotation des roues de la moto aux deux vitesses indiquées, puis la valeur de l’accélération angulaire des roues pendant la phase de décélération.

4. En déduire la valeur de la force qui doit s’exercer sur le disque du frein pour permettre ce freinage.

Corrigé

1. On commence par convertir les vitesses en m.s1.vA = 130 km.h1 = 36,1 m.s1 et vB = 110 km.h1 = 30,6 m.s1.

Par définition, l’accélération vaut a = dv/dt. Or ici, on considère que l’accélération est constante. Donc a = Δv/Δt = (30,6 36,1)/3,0 = 1,8 m.s2. Cette valeur est négative car la motocyclette ralentit.

2. On étudie le système {moto + motard}. Le bilan des forces extérieures appliquées au système donne :

– le poids du système P ;

– la composante normale RN de la force exercée par la route sur le système (elle s’oppose au poids du système) ;

– la composante tangentielle RT de la force exercée par la route sur le système. C’est cette force qui assure le freinage de la moto. Donc la valeur de la résultante des forces extérieures est égale à RT.

La valeur de l’accélération est liée à la valeur de la résultante des forces extérieures appliquées au système {moto + motard} : ma = RT. Donc RT = 250 × 1,8 = 450 N.

3. La vitesse angulaire des roues à 130 km.h1 vaut ωA = vA/R = 36,1/0,35 = 103 rad.s1 et celle des roues à 110 km.h1 : ωB = vB/R = 30,6/0,35 = 87 rad.s1.

Par définition, l’accélération angulaire s’exprime par α = dω/dt. Or ici, on considère que l’accélération est constante. Donc α = Δω/Δt = (87 103)/3,0 = 5,3 rad.s2.

4. On étudie maintenant le système {roue avant}. Le moment résultant M de la force de freinage est lié à la valeur de l’accélération angulaire :

Jα = M. Donc M = 0,60 × 5,3 = 3,2 N.m.

Calculons la valeur de la force F qui s’exerce sur le disque de frein.

M = d × F où d est le rayon du disque F = M/d = 26 N.

4Notion de convertisseur d’énergie

L’énergie est une grandeur physique pouvant prendre différentes formes : énergie thermique, électrique, rayonnante, chimique, nucléaire, mécanique…

Un convertisseur d’énergie est un dispositif qui permet de passer d’une forme d’énergie à une ou plusieurs autres. On obtient alors une chaîne énergétique.

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