La mécanique des fluides

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Mécanique des fluides

La mécanique des fluides

Nous avons besoin d’eau et de gaz consommables pour notre hygiène, pour préparer à manger ou se chauffer. La maîtrise de l’écoulement de l’eau et du gaz de ville dans les canalisations qui alimentent les habitations est importante. Il faut pouvoir contrôler la pression, le débit et la vitesse de ces fluides dans les conduites.

1Définitions

Fluide : un fluide est un milieu matériel déformable qui n’a pas de forme propre (c’est-à-dire qu’il épouse la forme de son contenant). Ce peut être un liquide ou un gaz.

Fluide parfait : on dit qu’un fluide est parfait lorsque sa viscosité est nulle et qu’il ne conduit pas la chaleur.

Remarques

• En réalité, aucun fluide n’est parfait. Mais en première approximation, on peut considérer que la viscosité de certains fluides est suffisamment faible pour être négligée. Cette approximation simplifie beaucoup les problèmes et aboutit à des résultats théoriques très proches des mesures expérimentales.

• Souvent, les liquides sont considérés comme des fluides incompressibles, contrairement aux gaz.

Fluide incompressible : on qualifie d’incompressible, un fluide que l’on ne peut ni comprimer ni dilater. La masse volumique d’un fluide incompressible est donc constante (elle ne dépend pas de la température ni de la pression).

2La pression dans un fluide à l’équilibre

A La pression absolue, relative ou différentielle

L’appareil de mesure de la pression dans un fluide est le manomètre. Pour mesurer la pression atmosphérique, on utilise un baromètre. Il existe trois types de pressions mesurées :

– la pression absolue dans un fluide : c’est la pression dans ce fluide par rapport à la pression dans le vide (dans le vide, la pression est nulle) ;

– la pression relative dans un fluide : c’est la pression dans ce fluide par rapport à la pression atmosphérique (Prelative = Pabsolue Patmosphérique) ;

– une pression différentielle : c’est la différence entre deux pressions, la seconde pouvant servir de pression de référence.

L’unité de mesure de la pression dans le système international est le pascal (Pa). Pour la pression atmosphérique, on utilise fréquemment un multiple du pascal : l’hectopascal (1 hPa = 1 × 10Pa). Il est commode également d’utiliser une autre unité de pression : le bar (1 bar = 1 × 105 Pa). En effet, la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer est proche d’un bar.

Exercice Résolu

Énoncé

1. La pression relative mesurée dans une conduite de gaz est de 1,55 bar. En déduire la pression absolue correspondant à cette pression relative (écrire le résultat en bars). Convertir cette pression en pascals, puis en hectopascals.

Donnée : La pression atmosphérique autour de la conduite est de 1,01 bar.

2. La pression absolue d’un gaz contenu dans une ampoule électrique est pabsolue = 1,00 × 102 bar. À cause d’un défaut de fabrication, cette ampoule n’est pas hermétique. Comment évolue la pression absolue du gaz dans cette ampoule ? À l’équilibre, quelle est la valeur de la pression relative dans l’ampoule ? Quelle aurait été sa valeur si l’ampoule n’avait pas eu de défaut ?

Corrigé

1. Pabsolue = Prelative + Patmosphérique = 1,55 + 1,01 = 2,56 bar.

1 bar = 105 Pa. Donc Pabsolue = 2,56 × 105 Pa = 2,56 × 103 hPa.

2. Au début, la pression à l’intérieur de l’ampoule est inférieure à la pression atmosphérique, donc la pression à l’intérieur de l’ampoule augmente jusqu’à la pression atmosphérique : 1,01 bar. Si elle n’avait pas eu de défaut,

Prelative = Pabsolue Patmosphérique = 1,00 × 102 1,01 = 1,00 bar

B Le principe fondamental de l’hydrostatique

On considère un fluide incompressible de masse volumique ρ, à l’équilibre dans le référentiel terrestre (c’est-à-dire qu’il est immobile par rapport au référentiel terrestre). Ce fluide n’étant soumis qu’à la pesanteur terrestre, la différence de pression ΔP entre deux points A et B situés à des profondeurs hA et hB, est donnée par la relation :

ΔP = PB PA = ρ.g.(hB hA) PA est la pression du fluide au point A (en Pa),

 PB est la pression du fluide au point B (en Pa),

 hA est la profondeur du point A (en m),

 hB est la profondeur du point B (en m),

 ρ est la masse volumique du fluide (en kg.m3),

 g est l’intensité de pesanteur (g = 9,81 N.kg1).

EXEMPLE

Un réservoir en U est schématisé ci-dessous. Il contient un fluide en contact avec une pression P0. Comparons les pressions en A, B, C, D, E, F et G.

12050_02_06_stdi

• Plus la profondeur augmente, plus la pression augmente (PA < PB < PC < PD).

• Deux points situés à la même profondeur sont à la même pression (P= PE, P= P= PG).

• Il y a continuité de la pression à l’interface entre deux fluides (P= P0).

EXERCICE RÉSOLU : Utiliser le principe fondamental de l’hydrostatique

Énoncé

Un manomètre différentiel est constitué d’un tube en U de section constante S. Il contient de l’huile et de l’eau, deux liquides non miscibles et incompressibles de masses volumiques respectives ρ1 = 910 kg.m3 et ρ2 = 1 000 kg.m3.12050_02_07_stdi

1. Initialement, la pression à la surface des deux liquides est la même et vaut PA. L’interface entre l’huile et l’eau est prise comme origine des ordonnées. On note respectivement H1 et H2 les hauteurs des surfaces de l’huile et de l’eau par rapport à l’origine O. Établir la relation entre H1, ρ1, H2 et ρ2.

2. On applique maintenant une surpression ΔP à la surface de l’huile. L’interface se déplace de Δh.

a. Exprimer de deux façons différentes la pression PO à l’interface.

b. En déduire l’expression de la surpression ΔP en fonction du déplacement Δh (vous pourrez utiliser le résultat de la question 1. pour simplifier cette expression).

c. On mesure Δh = 5,00 cm. Calculer la valeur de ΔP.

Donnée : l’intensité de pesanteur g = 9,81 N.kg1.

Méthode

Pour chaque fluide incompressible au repos, utiliser le principe fondamental de l’hydrostatique entre la surface et l’interface.

Corrigé

1. Ces deux fluides sont incompressibles et au repos. Appliquons le principe fondamental de l’hydrostatique entre la surface et l’interface :

– pour l’huile : PO PA = ρ1.g.H1

– pour l’eau : PO PA = ρ2.g.H2

On en déduit l’égalité ρ1.g.H1 = ρ2.g.H2. Après simplification : ρ1.H1 = ρ2.H2

2. a. L’interface s’est déplacée de Δh. On note O sa nouvelle position. Les fluides étant incompressibles, la surface de l’huile s’est également déplacée de Δh vers le bas tandis que la surface de l’eau s’est déplacée de Δh vers le haut. Appliquons le principe fondamental de l’hydrostatique entre la surface et l’interface :12050_02_07BIS_stdi

– pour l’huile : PO (PAΔP) = ρ1.g.H1 donc PO PA = ΔP + ρ1.g.H1

– pour l’eau : PO PA = ρ2.g. (H2 + 2 × Δh)

b. On en déduit l’égalité ΔP + ρ1.g.H= ρ2.g. (H2 + 2 × Δh)

ΔP = ρ1.g.H1 ρ2.g.H2 + 2 × ρ2.g.Δh

Or d’après 1., ρ1.H1 = ρ2.H2

Donc ΔP = 2 × ρ2.g.Δh.

c. ρ2 = 1 000 kg.m; g = 9,81 N.kg1 et Δh = 5,00 cm = 5,00 × 10m

ainsi ΔP = 981 Pa.

3La mesure d’un débit

A L’écoulement stationnaire

Un régime d’écoulement est dit stationnaire (ou permanent) si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique…) sont constants au cours du temps.

B La notion de débit

1. Le débit volumique

Pour un fluide incompressible en régime stationnaire, le débit volumique Qv de ce fluide à travers une section S de canalisation est le rapport du volume V de ce fluide qui s’écoule à travers S pendant une durée Δt, par la durée Δt.

Remarque

Pour la mesure d’un débit volumique, il est fréquent d’utiliser d’autres unités comme le L.min1 ou le m3.h1.

Qv = VΔt où : V : volume écoulé en mètre cube (m3),

 Δt : durée en seconde (en s),

 Qv : le débit volumique en mètre cube par seconde (m3.s1)

Exercice résolu

Énoncé

Le débit d’eau d’un robinet de salle de bain est de 15 L.min1. Un économiseur d’eau adapté à ce robinet permet de descendre à 5,0 L.min1. Calculer le volume d’eau économisé en 2,0 min.

Corrigé

Le débit économisé est Q = 15 5,0 = 10 L.min1.

Cela représente un volume V = Q × Δt = 10 × 2,0 = 20 L d’eau économisée.

2. Le débit massique

Pour un fluide incompressible en régime stationnaire, le débit massique Qm de ce fluide à travers une section S de canalisation est le rapport de la masse m de ce fluide qui s’écoule à travers S pendant une durée Δt, par la durée Δt.

Qm = mΔt où : m : masse écoulée en kilogramme (kg),

Δt : durée en seconde (en s),

 Qm : le débit massique en kilogramme par seconde (kg.s1)

Le lien entre le débit volumique et le débit massique est : Qm = ρ.Qv

C La vitesse moyenne d’écoulement dans une canalisation

Généralement, la vitesse d’un fluide à travers une section S de canalisation n’est pas constante :

12050_02_08_stdi

On définit alors la vitesse moyenne de l’écoulement comme étant la vitesse assurant le même débit que le profil réel des vitesses de l’écoulement.

La vitesse moyenne d’écoulement Vmoy (en m.s1) d’un écoulement de débit volumique Qv à travers une section S de canalisation est telle que :

Vmoy = QvS où : Qv : débit volumique en mètre cube par seconde (m3.s1),

 S : section de la canalisation en mètre carré (m2),

 Vmoy : vitesse moyenne d’écoulement en mètre par seconde (en m.s1)

Exercice résolu

Énoncé

Dans une gaine circulaire de diamètre 710 mm, on mesure une vitesse de circulation d’air de 4,0 m.s1. Quel est le débit en circulation en m3.s1 et en m3.h?

Corrigé

S = π × r2 = π × (355 × 103)2 = 0,396 m2

Qv = v × S = 1,6 m3.s1

QvS = 1,6 × 3 600 = 5,7×103 m3.h1

D La loi de conservation de la masse

Pour un fluide incompressible en régime stationnaire, le débit volumique est constant tout au long de la canalisation. Donc Qv = constante.

EXEMPLE

On considère une canalisation de section variable dans laquelle s’écoule un fluide incompressible en régime stationnaire. La vitesse v1 de l’écoulement à travers une section S1 de la canalisation et la vitesse v2 de l’écoulement à travers une section S2 sont liés par : S1.v1 = S2.v2

12050_02_09_stdi