A La vitesse d'un solide

La vitesse moyenne v_moy d'un point est le rapport de la distance d parcourue par le point par la durée ∆t nécessaire pour la parcourir :

La vitesse s'exprime en mètre par seconde (m.s^–1). Dans la vie courante, on utilise plutôt le kilomètre par heure (km.h^–1). On peut facilement convertir une vitesse exprimée en mètre par seconde en une vitesse en kilomètre par heure en utilisant un facteur 3,6 et réciproquement : v en km.h^–1 = 3,6 × v en m.s^–1et v en m.s^–1 = $\frac{\text{v en km.h^–1}}{\text{3,6}}$ .

La vitesse v d'un point est la vitesse instantanée du point. C'est le rapport de la distance d parcourue par le point par une durée ∆t infiniment petite nécessaire pour la parcourir.

Ainsi, la vitesse v est la limite de la vitesse moyenne lorsque ∆t tend vers 0.

Si on note x la position du point sur un axe, c'est donc mathématiquement la dérivée de la position x par rapport au temps. v = lim_{∆t →0} v_moy = lim_{∆t→ 0} $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ = $\frac{dx}{dt}$ .

Si on dispose d'une courbe indiquant la position au cours du temps, la vitesse à une date donnée est la pente de la tangente à la courbe pour cette date.

B L'évolution de la vitesse

Lorsque la vitesse d'un point ne varie pas, elle est constante : le mouvement est dit uniforme et la vitesse est égale à la vitesse moyenne. Par contre, on dit qu'il est accéléré si la valeur de la vitesse du point augmente au cours du temps et décéléré si la valeur de la vitesse du point diminue au cours du temps.

C L'accélération

L'accélération moyenne, notée a_moy, est liée à la variation de la vitesse ∆v et à la durée ∆t.

L'accélération d'un point est l'accélération instantanée du point. C'est le rapport de la variation de vitesse Δv par une durée ∆t infiniment petite.

Ainsi, l'accélération a est la limite de l'accélération moyenne a_moy lorsque ∆t tend vers 0. C'est donc mathématiquement la dérivée de la variation de vitesse Δv par rapport au temps : a = lim_∆t→0 a_moy = lim _∆t→0 $\frac{\Delta \text{v}}{\Delta \text{t}}$ = $\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$ .

Si on dispose d'une courbe indiquant la vitesse au cours du temps, l'accélération à une date donnée est la pente de la tangente à la courbe pour cette date.

D Le cas d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Lorsque l'accélération a est constante sur un axe, alors la vitesse est une fonction affine ou linéaire du temps et égale à a₀. En effet, la dérivée d'une fonction affine ou linéaire est une constante.

Ainsi, v = a₀ × t + C où C est une constante réelle qui peut être déterminée en connaissant la valeur de la vitesse à une date t donnée.

E La méthode d'Euler

aLe principe

En connaissant une loi de vitesse en fonction du temps, il est possible de construire une approximation des positions occupées successivement en augmentant le temps d'une même valeur.

En prenant l'équation précédente de vitesse sur un axe x, v_x = 2 t + 3,0 et en tenant compte du fait que v_x = $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ , on peut écrire $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ = 2 t + 3,0. C'est une équation différentielle, dans laquelle on remarque la présence de $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ , la dérivée de la position par rapport au temps. Or, un nombre dérivé est le coefficient de la tangente à la courbe au temps considéré, donc en prenant des petits intervalles de temps identiques que l'on appelle incréments de temps, on peut trouver l'évolution de la position au cours du temps.

bL'aspect mathématique

Soit y = f(x) la fonction considérée (supposée continue et dérivable), la valeur de la dérivée au point x_o est obtenue par : f′(x₀) = lim_h→0 $\frac{\text{f}\left({\text{x}}_0+\text{h}\right)-\text{f}({\text{x}}_0)}{\text{h}}$ avec h une petite variation de x, alors f(x₀+h) ≈ f(x₀) + h.f′(x₀).

En posant x₁ = x₀ + h, on obtient : y₁ = f(x₁) ≈ f(x₀) + h.f′(x₀). De même f(x₁+h) ≈ f(x₁) + h.f′(x₁).

En posant x₂ = x₁ + h, on obtient : y₂ = f(x₂) ≈ f(x₁) + h.f′(x₁). En généralisant, on obtient : y_n = f(x_n) ≈ f(x_n–1) + h.f′(x_n–1)

Pour h voisin de 0, les points M (x_n ; y_n) sont plus proches de la courbe. Plus la valeur h est petite, meilleur est le résultat mais plus il faut faire de calcul. Il faut donc connaître la valeur initiale de la fonction et on trouve les points suivants par itération.

Graphiquement, f′(x₀) est la valeur du coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point M₀. Le point M₁ de la courbe $\mathcal{C}$ est tel que y(M₁) = f(x₁) = f(x₀ + h).

Sur le graphe apparaît l'écart entre f(x₀ + h) et f(x₀) + h.f′(x₀). Il est donc nécessaire que l'incrément h soit le plus petit possible pour que la fonction calculée soit la plus proche possible de la primitive recherchée.

cL'application aux situations physiques de la méthode d'Euler

La fonction mathématique y = f(x) est remplacée par une fonction temporelle x(t) et h est remplacé par l'incrément de temps Δt. On peut alors écrire :

x(t_i+1) = x(t_i) + Δt × $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ (t_i) = x(t_i) + Δt × v(t_i) avec v(t_i) vitesse à la date t_i

La connaissance des grandeurs à la date t_i permet de déterminer la situation à la date t_i+1. Par récurrence on détermine ainsi les valeurs successives. Il faut donc connaître la valeur à la date x(t = 0) : condition initiale de position et l'expression de la dérivée $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ (0) à cette date.

Si on revient sur $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ = 2 t + 3,0, il faut définir une condition initiale x(0) = 0 et un incrément de temps Δt = 0,10 s.

On calcule alors $\frac{\text{dx}(0)}{\text{dt}}$ = 2 × 0 + 3,0 = 3,0 m.s^–1, ce qui permet de trouver :

x(0 + Δt) = x(0) + Δt × $\frac{\text{dx}(0)}{\text{dt}}$ = 0 + 0,10 × 3,0 = 0,30 m

On continue $\frac{\text{dx}(\mathrm{0,1})}{\text{dt}}$ = 2 × 0,10 + 3,0 = 3,2 m.s^–1, ce qui permet de trouver :

x(0,20) = x(0,10) + Δt × $\frac{\text{dx}(\mathrm{0,10})}{\text{dt}}$ = 0,30 + 0,10 × 3,2 = 0,62 m

Ce travail est mené jusqu'à la date choisie. Si on souhaite trouver la position au bout de 2,0 secondes, il faudra recommencer les calculs 20 fois $\left(\frac{\mathrm{2,0}}{\mathrm{0,1}}=20\right)$ . Ce qui est fastidieux : l'idéal est donc d'utiliser un tableur.