La vitesse

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Classe(s) : 1re STI2D - 1re STL | Thème(s) : Le mouvement d'un solide

A La vitesse d’un solide

La vitesse moyenne vmoy d’un point est le rapport de la distance d parcourue par le point par la durée ∆t nécessaire pour la parcourir :

Image dont le contenu est 	d : distance parcourue en mètre (m)vmoy = dΔt	∆t : durée du parcours en seconde (s)	v : vitesse en mètre par seconde (m.s–1); Fin de l'image

La vitesse s’exprime en mètre par seconde (m.s–1). Dans la vie courante, on utilise plutôt le kilomètre par heure (km.h–1). On peut facilement convertir une vitesse exprimée en mètre par seconde en une vitesse en kilomètre par heure en utilisant un facteur 3,6 et réciproquement : v en km.h–1 = 3,6 × v en m.s–1 et v en m.s–1 = v3,6 en km.h–1.

EXEMPLE

Une balle de tennis au service a une vitesse v = 221 km.h–1. Quelle est la valeur en m.s–1 ?

Pour obtenir la valeur en m.s–1, il faut diviser la vitesse exprimée en km.h–1 par 3,6. Ainsi, la vitesse vaut 2213,6 = 61 m.s–1.

La vitesse v d’un point est la vitesse instantanée du point. C’est le rapport de la distance d parcourue par le point par une durée ∆t infiniment petite nécessaire pour la parcourir.

Ainsi, la vitesse v est la limite de la vitesse moyenne lorsque ∆t tend vers 0.

Si on note x la position du point sur un axe, c’est donc mathématiquement la dérivée de la position x par rapport au temps. v = lim∆t0 vmoy = lim∆tΔx Δt = dx dt.

REMARQUE

Cette remarque concerne uniquement la filière STL.

Dans le cas d’un mouvement plan, le vecteur position OG (x, y) et le vecteur vitesse v (vx, vy) ont deux coordonnées. L’abscisse du vecteur vitesse vx est la dérivée de l’abscisse du vecteur position par rapport au temps vx = dxdt et l’ordonnée du vecteur vitesse vy est la dérivée de l’ordonnée du vecteur position par rapport au temps vy = dydt.

Le vecteur vitesse v est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : v = dOGdt

Si on dispose d’une courbe indiquant la position au cours du temps, la vitesse à une date donnée est la pente de la tangente à la courbe pour cette date.

B L’évolution de la vitesse

Lorsque la vitesse d’un point ne varie pas, elle est constante : le mouvement est dit uniforme et la vitesse est égale à la vitesse moyenne. Par contre, on dit qu’il est accéléré si la valeur de la vitesse du point augmente au cours du temps et décéléré si la valeur de la vitesse du point diminue au cours du temps.

EXEMPLE

Les mouvements d’un point d’un solide se déplaçant selon un mouvement rectiligne de gauche à droite ont été enregistrés à intervalles de temps réguliers (∆t identiques entre les 3 enregistrements) reproduits ci-dessous :

15494_P07_04_stdi

Enregistrement 1 : points régulièrement espacés ; c’est un mouvement rectiligne uniforme.

Enregistrement 2 : points de plus en plus espacés ; c’est un mouvement rectiligne accéléré.

Enregistrement 3 : points de plus en plus proches ; c’est un mouvement rectiligne décéléré.

C L’accélération

L’accélération moyenne, notée amoy, est liée à la variation de la vitesse ∆v et à la durée ∆t.

Image dont le contenu est 	Δv : variation de la vitesse (m.s–1)amoy = Δv Δt	Δt : durée du parcours en seconde (s)	a : accélération en mètre par seconde au carré (m.s–2); Fin de l'image

EXEMPLE

Les constructeurs automobiles donnent souvent une indication de l’accélération de leurs véhicules sous la forme : « de 0 à 100 km.h–1 en 4,5 secondes ».

Le calcul de l’accélération peut être réalisé, car on dispose d’une variation de vitesse ∆v = 100 km.h–1 et d’une durée ∆t = 4,5 s.

On convertit la variation de vitesse en m.s–1 : ∆v = 1003,6 = 28 m.s–1, ainsi l’accélération est a = ΔΔt , soit a = 284,5 = 6,0 m.s–2. Cette voiture est puissante.

Remarque

Ordres de grandeurs

Un coureur au démarrage d’un sprint a une accélération a = 5 m.s–2.

Une bille d’acier lâchée dans l’air a une accélération a = 10 m.s–2.

Un avion de ligne a, au décollage, une accélération a = 6 m.s–2.

Au décollage, une fusée a une accélération a = 50 m.s–2. Les cosmonautes doivent avoir une condition physique et un entraînement spécifiques pour résister à cette accélération.

L’accélération d’un point est l’accélération instantanée du point. C’est le rapport de la variation de vitesse Δv par une durée ∆t infiniment petite.

Ainsi, l’accélération a est la limite de l’accélération moyenne amoy lorsque ∆t tend vers 0. C’est donc mathématiquement la dérivée de la variation de vitesse Δv par rapport au temps : a = lim∆t0 amoy = lim∆t0 ΔΔt = dvdt.

Si on dispose d’une courbe indiquant la vitesse au cours du temps, l’accélération à une date donnée est la pente de la tangente à la courbe pour cette date.

D Le cas d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Lorsque l’accélération a est constante sur un axe, alors la vitesse est une fonction affine ou linéaire du temps. En effet, la dérivée d’une fonction affine ou linéaire est une constante.

REMARQUE

Les parties D et E concernent uniquement la filière STL.

Ainsi, v = a0 × t + C où C est une constante réelle qui peut être déterminée en connaissant la valeur de la vitesse à une date t donnée.

Exemple

a = 2,0 m.s–2 et la vitesse v vaut 3,0 m.s–1 à la date t = 0 s.

La vitesse s’écrit v = 2 t + C, or à t = 0, v = 3,0 m.s–1, donc en remplaçant t par 0, on obtient v = 2 × 0 + C = 3,0, ainsi on détermine la constante C = 3,0 m.s–1. La vitesse s’écrit donc v = 2 t + 3,0, c’est une équation horaire de type affine.

E La méthode d’Euler

aLe principe

En connaissant une loi de vitesse en fonction du temps, il est possible de construire une approximation des positions occupées successivement en augmentant le temps d’une même valeur.

En prenant l’équation précédente de vitesse sur un axe x, vx = 2 t + 3,0 et en tenant compte du fait que vxdx dt, on peut écrire dx dt = 2 t + 3,0. C’est une équation différentielle, dans laquelle on remarque la présence de dx dt, la dérivée de la position par rapport au temps. Or, un nombre dérivé est le coefficient de la tangente à la courbe au temps considéré, donc en prenant des petits intervalles de temps identiques que l’on appelle incréments de temps, on peut trouver l’évolution de la position au cours du temps.

bL’aspect mathématique

Soit y = f(x) la fonction considérée (supposée continue et dérivable), la valeur de la dérivée au point xo est obtenue par : f′(x0) = limh0f(x0+h)f(x0)h avec h une petite variation de x, alors f(x0+h)  f(x0) + h.f(x0).

En posant x1 = x0 + h, on obtient : y1 = f(x1) ≈ f(x0) + h.f′(x0). De même f(x1+h) ≈ f(x1) + h.f′(x1).

En posant x2 = x1 + h, on obtient : y2 = f(x2) ≈ f(x1) + h.f′(x1). En généralisant, on obtient : yn = f(xn) ≈ f(xn–1) + h.f′(xn–1)

Pour h voisin de 0, les points M (x; yn) sont plus proches de la courbe. Plus la valeur h est petite, meilleur est le résultat mais plus il faut faire de calcul. Il faut donc connaître la valeur initiale de la fonction et on trouve les points suivants par itération.

Graphiquement, f′(x0) est la valeur du coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe C au point M0. Le point M1 de la courbe C est tel que y(M1) = f(x1) = f(x0 + h).

15494_P07_05

Sur le graphe apparaît l’écart entre f(x0 + h) et f(x0) + h.f′(x0). Il est donc nécessaire que l’incrément h soit le plus petit possible pour que la fonction calculée soit la plus proche possible de la primitive recherchée.

cL’application aux situations physiques de la méthode d’Euler

La fonction mathématique y = f(x) est remplacée par une fonction temporelle x(t) et h est remplacé par l’incrément de temps Δt. On peut alors écrire :

x(ti+1) = x(ti) + Δt × dx dt(ti) = x(ti) + Δt × v(ti) avec v(ti) vitesse à la date ti

La connaissance des grandeurs à la date ti permet de déterminer la situation à la date ti+1. Par récurrence on détermine ainsi les valeurs successives. Il faut donc connaître la valeur à la date x(t = 0) : condition initiale de position et l’expression de la dérivée dx dt(0) à cette date.

Si on revient sur dx dt = 2 t + 3,0, il faut définir une condition initiale x(0) = 0 et un incrément de temps Δt = 0,10 s.

On calcule alors dx (0)dt = 2 × 0 + 3,0 = 3,0 m.s–1, ce qui permet de trouver :

x(0 + Δt) = x(0) + Δt × dx (0)dt = 0 + 0,10 × 3,0 = 0,30 m

On continue dx (0,1)dt = 2 × 0,10 + 3,0 = 3,2 m.s–1, ce qui permet de trouver :

x(0,20) = x(0,10) + Δt × dx (0,10)dt = 0,30 + 0,10 × 3,2 = 0,62 m

Ce travail est mené jusqu’à la date choisie. Si on souhaite trouver la position au bout de 2,0 secondes, il faudra recommencer les calculs 20 fois (2,00,1=20). Ce qui est fastidieux : l’idéal est donc d’utiliser un tableur.