Une population évolue de manière exponentielle si son taux de variation entre deux paliers successifs est constant ou presque. Le modèle exponentiel permet de décrire une telle évolution.

ILe modèle exponentiel en définitions

1 Qu’est-ce qu’une évolution exponentielle ?

On considère une grandeur discrète modélisée par la suite de terme général $u\left(n\right)$, dans laquelle $u\left(0\right)$ est la valeur initiale et $u\left(n\right)$ est la valeur « au palier $n$ », c’est-à-dire après $n$ unités de temps (années, mois, jours, etc.).

On dit que la grandeur varie de manière exponentielle si et seulement si le quotient $\frac{u\left(n+1\right)}{u\left(n\right)}$ des valeurs à deux paliers successifs est constant, indépendant du palier $n$. On le note $q$. C’est un nombre positif.

Une grandeur varie de manière exponentielle si et seulement si son taux d’évolution est constant, égal au pourcentage d’évolution entre deux paliers successifs. La variation relative par unité de temps est donc également constante.

La suite de terme général $u\left(n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$, on passe d’un terme au suivant en multipliant par le nombre $q$ supérieur ou inférieur à 1. On dit aussi que les nombres $u\left(n\right)$ sont en progression géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$, on a : $u\left(n+1\right)=u\left(n\right)\times q$ et $u\left(n\right)=u\left(0\right)\times q^n$.

Si une grandeur suit une croissance exponentielle, alors le pourcentage d’évolution entre deux paliers successifs est constant.

Si la grandeur augmente de $t\%$ par palier, alors $q=1+\frac{t}{100}$ et $q>1$.

Si elle diminue de $t\%$ par palier, alors $q=1-\frac{t}{100}$ et $q<1$.

2 Le sens de variation

Si $q>1$, la suite de terme général $u\left(n\right)$ est croissante.

La grandeur augmente au cours du temps.

Si $q=1$, la suite de terme général $u\left(n\right)$ est constante.

La grandeur est constante, elle ne varie pas au cours du temps.

Si $q<1$, la suite de terme général $u\left(n\right)$ est décroissante.

La grandeur diminue au cours du temps.

3 La représentation graphique et la modélisation

Les points du nuage représentant une grandeur qui suit une croissance exponentielle appartiennent à la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Dans la réalité, pour une population dont le taux d’évolution est presque constant d’un palier au suivant, le nuage de points peut être ajusté par une courbe conforme au modèle exponentiel.

IILe modèle de Malthus

L’économiste britannique Thomas Malthus (1766-1834) affirme, vers la fin du xviii^e siècle, qu’une population s’accroît géométriquement, c’est-à-dire en suivant un modèle exponentiel, si elle n’est pas freinée.

Si on note $P\left(n\right)$ la population au palier n, sa croissance se traduit par une relation du type $P\left(n+1\right)=\text{λ}P\left(n\right)$, où $\text{λ}$, appelé paramètre malthusien, dépend du rapport entre le taux de natalité (rapport du nombre de naissances à la population totale) et le taux de mortalité (rapport du nombre de morts à la population totale), que Malthus suppose constants.

Plus précisément :

si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité, alors l’effectif de la population décroît vers 0 ;

si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité, alors l’effectif de la population croît vers l’infini.