Le modèle exponentiel appliqué à la démographie

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Les modèles démographiques


Une population évolue de manière exponentielle si son taux de variation entre deux paliers successifs est constant ou presque. Le modèle exponentiel permet de décrire une telle évolution.

I Le modèle exponentiel en définitions

1 Qu’est-ce qu’une évolution exponentielle ?

On considère, comme précédemment, une grandeur discrète de valeur initiale u0 ; n étant un entier naturel, on note également un la valeur au palier n.

On dit que la grandeur varie de manière exponentielle si et seulement si sa variation absolue un+1un est proportionnelle à sa valeur courante un (sa valeur au palier n).

Une grandeur varie de manière exponentielle si et seulement si son taux de variation est constant, égal au pourcentage d’évolution (positif ou négatif) entre deux paliers successifs.

mot clé

Le taux de variation de la grandeur entre les paliers n et n+1 est :

un+1unun×100.

Alors le quotient un+1un des valeurs à deux paliers successifs est lui aussi constant, indépendant du palier n. On le note q. C’est un nombre positif.

La suite de terme général un est une suite géométrique, on passe d’un terme au suivant en multipliant par le nombre q supérieur ou inférieur à 1. q est la raison de la suite.

À NOTER

Le nombre qui permet, par multiplication, de passer d’un terme au suivant dans une suite géométrique se nomme raison.

On dit aussi que les nombres un sont en progression géométrique.

Pour tout entier naturel n, on a : un=u0×qn.

Si la grandeur augmente de t% par palier, alors q=1+t100 et q>1.

Si elle diminue de t% par palier, alors q=1t100 et q<1.

2 Le sens de variation

Si q>1, la suite de terme général un est croissante.

La grandeur augmente au cours du temps.

Si q=1, la suite de terme général un est constante.

La grandeur est constante, elle ne varie pas au cours du temps.

Si q<1, la suite de terme général un est décroissante.

La grandeur diminue au cours du temps.

3 La représentation graphique et la modélisation

Les points du nuage appartiennent à la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Dans la réalité, pour une population dont le taux de variation est presque constant d’un palier au suivant, le nuage de points peut être ajusté par une courbe conforme au modèle exponentiel.

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II Le modèle de Malthus

L’économiste britannique Thomas Malthus (1766-1834) affirme, vers la fin du XVIIIe siècle, qu’une population s’accroît géométriquement, c’est-à-dire en suivant un modèle exponentiel, si elle n’est pas freinée.

Si on note Pn la population au palier n, sa croissance se traduit par une relation du type Pn+1=λPn, où λ, appelé paramètre malthusien, dépend du rapport entre le taux de natalité (rapport du nombre de naissances à la population totale) et le taux de mortalité (rapport du nombre de morts à la population totale), que Malthus suppose constants.

En parallèle, il prédit mathématiquement que l’accroissement des ressources indispensables à la survie de la population suit un modèle linéaire, c’est-à-dire qu’elles croissent de façon arithmétique. Cette croissance étant bien plus lente que celle de la population, il en déduit le caractère inévitable de catastrophes démographiques, à moins de limiter la croissance de la population.