Fiche de révision

Le spectre d'amplitude d'un signal périodique

A Différents signaux

De nombreux signaux analogiques ou numériques sont utilisés dans les communications entre machines ou entre humains. Le support est, le plus souvent, une tension mais ce peut être une onde électromagnétique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques) ou une onde sonore.

L'information transportée est :

un message audio (parole, musique) ;

un message vidéo (image TV) ;

un message binaire ;

un signal analogique de l'état d'un capteur.

Une façon naturelle de connaître un signal est d'observer son allure en fonction du temps, ou représentation temporelle. On observe ainsi plusieurs types de signaux :

Image dont le contenu est   Signal sinusoïdal Signal périodique  Signal périodique plus complexe Bruit; Fin de l'image

Remarque

Le bruit n'est pas un signal périodique.

B La représentation fréquentielle d'un signal

Un signal continu a une représentation temporelle horizontale, ici s(t) = 5 en noir.

Un signal sinusoïdal a une forme caractéristique, ici s1(t) = 3 sin (2Π t) en violet.

Un signal sinusoïdal associé à une composante continue donne : s2(t) = 3 + 2 sin (4Π t) en vert.

15843_P1_C22_IM5_stdi

Évolution temporelle des signaux s, s1 et s2

Un signal sinusoïdal s'écrit :

Image dont le contenu est  S : l'amplitude du signals(t) = S sin (2Π × f × t + ϕ) f : la fréquence du signal en hertz ϕ : la phase du signal au temps initial en radian; Fin de l'image
15843_P1_C22_IM6_stdi

Amplitude en fonction de la fréquence

La représentation en fréquence d'un signal est un graphe faisant apparaître l'amplitude en fonction de la fréquence :

s(t) apparaît pour la fréquence f = 0 et une amplitude égale à 5 ;

s1(t) = 3 sin (2Π t) = 3 sin (2Π × 1 × t) a une amplitude valant 3 pour une fréquence f = 1 Hz. Il est représenté par un segment vertical d'amplitude 3 à la fréquence f = 1 Hz ;

s2(t) = 3 + 2 sin (4Π t) = 3 + 2 sin (2Π × 2 × t) a une amplitude valant 2 pour une fréquence f = 2 Hz. Il est représenté par un segment vertical d'amplitude 2 à la fréquence f = 2 Hz, et sa composante continue par un segment vertical d'amplitude 3 pour f = 0.

C La décomposition d'un signal périodique

Il est possible de trouver le spectre d'amplitude d'un signal périodique avec la décomposition en série de Fourier. En effet, le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t), de forme quelconque, mais périodique de période To, peut s'écrire sous la forme suivante :

x(t) = X0 + X1sin(2Π.f1 t + ϕ1) + X2sin(2Π.2f1 t + ϕ2) + X3sin(2Π.3f1 + ϕ3) +… + Xnsin(2Π.nf1 t + ϕn),

avec X0 la valeur moyenne du signal, X1 l'amplitude du fondamental, X2 l'amplitude de l'harmonique 2, …, Xn l'amplitude de l'harmonique nx.

La première fréquence f1 est le fondamental, c'est la fréquence du signal. L'harmonique de rang n est à la fréquence nf1.

Cette décomposition peut aussi s'écrire de la façon suivante :

x(t) = X0 + Σ Xnsin(2Π nf1 t + ϕn).

Le spectre représentant les amplitudes Xn en fonction de la fréquence n f1 a l'allure suivante :

15843_P1_C22_IM7_stdi

Le spectre d'un signal périodique est toujours un spectre de raies, qui ne peuvent se trouver qu'aux fréquences nf1.

EXEMPLE

Un signal périodique a une fréquence f = 170 Hz. Il comporte aussi un harmonique de fréquence f = 850 Hz. En faisant le rapport fnf = 850170 = 5, on en déduit qu'il s'agit de l'harmonique de rang 5.

REmarque

Deux signaux périodiques ayant le même spectre peuvent avoir des formes différentes ! Le spectre en fréquence ne suffit pas à caractériser un signal.

Pour lire la suite

Je m'abonne

Et j'accède à l'ensemble
des contenus du site