Terminale générale Physique-chimie Description d'un mouvement

Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.

I Dans un repère cartésien

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) : $\vec{a_{M}} = \frac{d \vec{v_{M}}}{d t} = \frac{d^{2} \vec{OM}}{d t^{2}}$ .

Les coordonnées (a_x ; a_y ; a_z) de $\vec{a_{M}}$ sont les dérivées par rapport au temps t des coordonnées (v_x ; v_y ; v_z) de $\vec{v_{M}}$ ou les dérivées secondes des coordonnées (x ; y ; z) du vecteur position $\vec{OM}$ :

$\vec{a_{M}} = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} + a_{z} \vec{k} = \frac{d v_{x}}{d t} \vec{i} + \frac{d v_{y}}{d t} \vec{j} + \frac{d v_{z}}{d t} \vec{k} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \vec{i} + \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \vec{j} + \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \vec{k}$

Le vecteur accélération $\vec{a_{M}}$ a pour :

origine : le point M ;

direction et sens : celui du vecteur $Δ \vec{v}$ ;

valeur : a $= \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$ (en m · s⁻²).

II Dans le repère de Frenet

Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté (M, $\vec{t}$ , $\vec{n}$ ). Dans ce repère :

$\vec{v} = v \vec{t}$ (v valeur de la vitesse)

$\vec{a} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}} = a_{t} \vec{t} + a_{n} \vec{n} = \frac{d v}{d t} \vec{t} + \frac{v^{2}}{R} \vec{n}$

$a_{t} = \frac{d v}{d t}$ ( $\frac{d v}{d t}$ : dérivée de la vitesse par rapport à t) ;

$a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ (R : rayon de la trajectoire).

À noter

$\vec{t}$ et $\vec{n}$ sont deux vecteurs unitaires liés au point M. $\vec{t}$ est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et $\vec{n}$ est perpendiculaire à $\vec{t}$ et orienté vers l'intérieur de la trajectoire.

$\frac{v^{2}}{R}$ > 0, donc $\vec{a}$ et $\vec{n}$ sont de même sens : l'accélération est toujours dirigée vers l'intérieur de la trajectoire.

Méthode

Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse

M est un point mobile dans le plan (O, x, y).

Son vecteur vitesse à une date t est :

$\vec{v_{M}} = (2 t - 3) \vec{i} + 2 \vec{j}$ .

a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération $\vec{a_{M}}$ .

b. Tracer le vecteur accélération à t = 1 s.

c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse : $Δ \vec{v}$ = $\vec{v_{2}}$ − $\vec{v_{0}}$ .

d. En déduire le tracé du vecteur $\vec{a}$ à t = 1 s.

e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.

Conseils

a. Dérivez les coordonnées v_x(t) et v_y(t) du vecteur vitesse.

b. Le vecteur accélération est tracé à partir de M₁.

c. Pour tracer $Δ \vec{v}$ , il faut mettre bout à bout $\vec{v_{2}}$ et − $\vec{v_{0}}$ à partir de M₁.

d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur $Δ \vec{v}$ . Entre deux dates proches, t₀ et t₂, on peut écrire : $\vec{a_{M}} = \frac{d \vec{v_{M}}}{d t} \approx {(\frac{Δ \vec{v}}{Δ t})}_{entre t_{0} et t_{2}}$ .

Solution

a. $v_{x}$ = 2 × t − 3 et $v_{y}$ = 2.

Donc : $a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t}$ = 2 et $a_{y} = \frac{d v_{y}}{d t}$ = 0.

Soit : $\vec{a_{M}} = 2 \vec{i} + 0 \vec{j} = 2 \vec{i}$ .

b. Le vecteur $\vec{a_{1}}$ est tracé en M₁ : voir figure.

c. Le vecteur variation de vitesse $Δ \vec{v}$ est tracé à partir de M₁, on obtient $Δ \vec{v} = 4 \vec{i}$ .

d. La variation se produit entre t = 0 s et t = 2 s pendant 2 s, on a donc :

$\vec{a_{1}} = \frac{{(Δ \vec{v})}_{entre t_{0} et t_{2}}}{2}$ = $\frac{4 \vec{i}}{2}$ = $2 \vec{i}$ .

e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis.

Le vecteur accélération