Fiche de révision

Les fonctions sinus et cosinus (1re)

Contenu

A Définitions

Dans l'enroulement précédent, tout nombre réel x est associé à un point unique M du cercle trigonométrique .

Image dont le contenu est i→=OA→ et j→=OB→.; Fin de l'image

Le point M définit l'angle de vecteurs (OA, OM) et le nombre réel x est une mesure de cet angle.

• Pour tout nombre réel x, cos x et sin x sont les coordonnées du point M image du nombre réel x sur le cercle trigonométrique .

• Par définition, M a pour coordonnées (cos x, sin x) dans le repère orthonormé (O ; OA, OB).

Des valeurs remarquables

Tableau de 3 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; – π; –π2; 0; π6; π4; π3; π2; π; Ligne 2 : sin x; 0; – 1; 0; 12; 22; 32; 1; 0; Ligne 3 : cos x; – 1; 0; 1; 32; 22; 12; 0; – 1;

Conséquences de la définition

Pour tout nombre réel x :

– 1 ≤ cosx ≤ 1 ; – 1 ≤ sinx ≤ 1 ; cos2x + sin2x = 1.

Pour obtenir des valeurs approchées de cosx et sinx

Pour obtenir avec une calculatrice les valeurs de cos x et de sin x, il faut se mettre en « mode radian » et utiliser les touches Image dont le contenu est cos; Fin de l'image et Image dont le contenu est sin; Fin de l'image. En effet, en considérant « l'enroulement » précédent, on constate que le cosinus (ou le sinus) du réel x est le cosinus (ou le sinus) de x radians.

Ainsi, cos 1 ≈ 0,54

et sin 1 ≈ 0,84.

Pour tout nombre réel k, – 1 ≤ k ≤ 1, trouver x tel que cos x = k ou sin x = k

EXEMPLES

• On cherche x, 0 ≤ x ≤ π, tel que cos x = – 0,98.

La calculatrice est en « mode radian ».

Avec INV cos (– 0,98), ou 2nde cos (– 0,98), ou cos–1 (– 0,98), ou Arc cos (– 0,98)…, on obtient : x ≈ 2,94.

Vérifiez-le !

• On cherche x, π2xπ2, tel que sin x = – 0,37.

Avec INV sin (– 0,37), ou 2nde sin (– 0,37), ou sin–1 (– 0,37), ou Arc sin (– 0,37)…, on obtient : x ≈ – 0,38.

Vérifiez-le !

Une équation de la forme cos x = a avec a > 1 ou a 

remarques

Quand on cherche un nombre réel x tel que cos x = k, avec – 1 ≤ k ≤ 1, la calculatrice, à l'aide de la touche INV cos ou 2nde cos ou cos–1 ou Arcos, donne une valeur telle que : 0 ≤ x ≤ π. La valeur obtenue est en radians.

Quand on cherche un nombre réel x tel que sin x = k, avec – 1 ≤ k ≤ 1, la calculatrice, à l'aide de la touche INV sin ou 2nde sin ou sin–1 ou Arc sin, donne une valeur telle que : π2xπ2. La valeur obtenue est en radians.

À retenir

Pour tout nombre réel x : cosx = cos (x radians) ; sin x = sin (x radians).

Effectuer des conversions de degré en radian, de radian en degré

On a π radians = 180 degrés donc :

• 1 radian = 180π degrés (α radians = 180×απ degrés) ;

• 1 degré = π180 radian (n degrés = n×π180 radians).

EXEMPLES

• 2,5 radians = 180×2,5π ≈ 143,24°.

Abréviations usuelles :

• degré : ° ;

• radian : rad.

• 87 degrés = 87×π180 ≈ 1,52 rad.

B Périodicité

Les nombres réels x, et xk2π (k ∈ ℤ) sont des mesures d'un même angle orienté (ou d'un même arc orienté) ; ils sont associés au même point M, d'où : pour tout x de ℝ, cos (xk2π) = cos x et sin (xk2π) = sin x.

En particulier, pour k = 1 (la plus petite valeur strictement positive) : pour tout x de ,

cos (x + 2π) = cos x et sin (x + 2π) = sin x.

On en déduit la propriété suivante :

• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.

• En physique, on utilise des fonctions de la forme :

f : t ↦ cos (ωt + ϕ) et f : t ↦ sin (ωt + ϕ).

L'expression de (ωt + ϕ) est appelée phase instantanée et le paramètre ϕ, phase à l'origine.

Ces fonctions ont pour période : T=2πω.

C Parité

Les points M et M′ de la figure étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a, pour tout x de  :

cos (– x) = cos x et sin (– x) = – sin x.

La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.

15494_F08_05

D Représentation graphique de la fonction sinus

Représentation graphique de la fonction définie sur [0, π] par x sin x

Tableau de variation

15494_F08_06

Courbe représentative de la fonction définie sur [– π, π] par x sin x

La fonction définie sur [– π, π] par x ↦ sin x étant impaire, la courbe C2 s'obtient à partir de C1 par symétrie de centre 0.

15494_F08_07

Courbe représentative de la fonction définie sur par x sin x

La fonction définie sur par x ↦ sin x étant périodique de période 2 π, la courbe C3 s'obtient à partir de C2 par translations successives de vecteur 2πi ou – 2πi.

Observez sur la figure que : sin (x + 2π) = sin x.

15494_F08_08

La courbe obtenue est appelée sinusoïde.

E Courbe représentative de la fonction cosinus

On déduit la courbe représentative C2 de la fonction définie sur par x ↦ cos x de la courbe représentative C1 de la fonction définie sur [– π, π] par x ↦ cos x par translations successives de vecteur 2πi ou – 2πi.

15494_F08_09

On démontre que la courbe obtenue est la sinusoïde « translatée » de π2 i.

F Angles associés

Plutôt que de chercher à retenir directement les formules suivantes, il vaut mieux apprendre à les retrouver sur une figure.

Sur les quatre figures suivantes :

 cosa=OP¯, sina=OQ¯ ;

 OP¯ se lit « mesure algébrique de OP ». C'est la distance OP affectée du signe + ou du signe –, suivant la position de P par rapport à O ;

 OP¯ et OQ¯ sont respectivement les cosinus et sinus des angles associés.

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Réels opposés : a et – aPour tout nombre réel a :sin (– a) = – sin a ;cos (– a) = cos a.On peut retenir que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire.; Réels dont la somme est π : a et π – aPour tout nombre réel a :sin (π – a) = sin a ;cos (π – a) = – cos a.; Ligne 2 : Réels dont la différence est π : a et π + aPour tout nombre réel a :sin (π + a) = – sin a ;cos (π + a) = – cos a.; Réels dont la somme est π2 : a et π2−aLe cosinus de l'un est le sinus de l'autre.Pour tout nombre réel a :sin(π2–a)=cosacos(π2–a)=sina;

EXEMPLES

• cos(π3) =cosπ3=12.

• sin5π6=sin(ππ6) =sinπ6=12.

• cos2π3=cos(ππ3) =cosπ3=12.

• sin5π4=sin(π+π4) =sinπ4=22.

• sinπ6=sin(π2π3) =cosπ3.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner