A Définitions

Dans l'enroulement précédent, tout nombre réel x est associé à un point unique M du cercle trigonométrique .

• Pour tout nombre réel x, cos x et sin x sont les coordonnées du point M image du nombre réel x sur le cercle trigonométrique .

• Par définition, M a pour coordonnées (cos x, sin x) dans le repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$).

Des valeurs remarquables

Conséquences de la définition

Pour tout nombre réel x :

– 1 ≤ cos x ≤ 1 ; – 1 ≤ sin x ≤ 1 ; cos² x + sin² x = 1.

Pour obtenir des valeurs approchées de cos x et sin x

Pour obtenir avec une calculatrice les valeurs de cos x et de sin x, il faut se mettre en « mode radian » et utiliser les touches et . En effet, en considérant « l'enroulement » précédent, on constate que le cosinus (ou le sinus) du réel x est le cosinus (ou le sinus) de x radians.

Pour tout nombre réel k, – 1 ≤ k ≤ 1, trouver x tel que cos x = k ou sin x = k

EXEMPLES

• On cherche x, 0 ≤ x ≤ π, tel que cos x = – 0,98.

La calculatrice est en « mode radian ».

Avec INV cos (– 0,98), ou 2nde cos (– 0,98), ou cos^–1 (– 0,98), ou Arc cos (– 0,98)…, on obtient : x ≈ 2,94.

• On cherche x, $–\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$, tel que sin x = – 0,37.

Avec INV sin (– 0,37), ou 2nde sin (– 0,37), ou sin^–1 (– 0,37), ou Arc sin (– 0,37)…, on obtient : x ≈ – 0,38.

À retenir

Pour tout nombre réel x : cos x = cos (x radians) ; sin x = sin (x radians).

Effectuer des conversions de degré en radian, de radian en degré

On a π radians = 180 degrés donc :

• 1 radian = $\frac{180}{\pi }$ degrés (α radians = $\frac{180\times \alpha }{\pi }$ degrés) ;

• 1 degré = $\frac{\pi }{180}$ radian (n degrés = $\frac{n\times \pi }{180}$ radians).

EXEMPLES

• 2,5 radians = $\frac{180\times \mathrm{2,5}}{\pi }$ ≈ 143,24°.

• 87 degrés = $\frac{87\times \pi }{180}$ ≈ 1,52 rad.

B Périodicité

Les nombres réels x, et x + k2π (k ∈ ℤ) sont des mesures d'un même angle orienté (ou d'un même arc orienté) ; ils sont associés au même point M, d'où : pour tout x de ℝ, cos (x + k2π) = cos x et sin (x + k2π) = sin x.

En particulier, pour k = 1 (la plus petite valeur strictement positive) : pour tout x de ℝ,

cos (x + 2π) = cos x et sin (x + 2π) = sin x.

On en déduit la propriété suivante :

• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.

• En physique, on utilise des fonctions de la forme :

f : t ↦ cos (ωt + ϕ) et f : t ↦ sin (ωt + ϕ).

L'expression de (ωt + ϕ) est appelée phase instantanée et le paramètre ϕ, phase à l'origine.

Ces fonctions ont pour période : $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

C Parité

Les points M et M′ de la figure étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a, pour tout x de ℝ :

cos (– x) = cos x et sin (– x) = – sin x.

La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.

D Représentation graphique de la fonction sinus

Représentation graphique de la fonction définie sur [0, π] par x ↦ sin x

Tableau de variation

Courbe représentative de la fonction définie sur [– π, π] par x ↦ sin x

La fonction définie sur [– π, π] par x ↦ sin x étant impaire, la courbe C₂ s'obtient à partir de C₁ par symétrie de centre 0.

Courbe représentative de la fonction définie sur ℝ par x ↦ sin x

La fonction définie sur ℝ par x ↦ sin x étant périodique de période 2 π, la courbe C₃ s'obtient à partir de C₂ par translations successives de vecteur 2π$\overrightarrow{i}$ ou – 2π$\overrightarrow{i}$.

La courbe obtenue est appelée sinusoïde.

E Courbe représentative de la fonction cosinus

On déduit la courbe représentative C₂ de la fonction définie sur ℝ par x ↦ cos x de la courbe représentative C₁ de la fonction définie sur [– π, π] par x ↦ cos x par translations successives de vecteur 2π$\overrightarrow{i}$ ou – 2π$\overrightarrow{i}$.

F Angles associés

Plutôt que de chercher à retenir directement les formules suivantes, il vaut mieux apprendre à les retrouver sur une figure.

Sur les quatre figures suivantes :

 $\cos a=\overline{OP}$, $\sin a=\overline{OQ}$ ;

 $\overline{OP}$ se lit « mesure algébrique de OP ». C'est la distance OP affectée du signe + ou du signe –, suivant la position de P par rapport à O ;

 $\overline{O{P}^{\prime }}$ et $\overline{O{Q}^{\prime }}$ sont respectivement les cosinus et sinus des angles associés.

EXEMPLES

• $\cos \left(–\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

• $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \left(\pi –\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

• $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi –\frac{\pi }{3}\right)=–\cos \frac{\pi }{3}=–\frac{1}{2}$.

• $\sin \frac{5\pi }{4}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=–\sin \frac{\pi }{4}=–\frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $\sin \frac{\pi }{6}=\sin \left(\frac{\pi }{2}–\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$.