Les pourcentages

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Fiches
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Pourcentages

Les pourcentages

1Proportion (ou fréquence)

Définition

La proportion (ou fréquence) p, d’une sous-population A dans une population E est le rapport des effectifs : p=nAnE.

Une proportion s’écrit sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.

Exemple

En 2014, il y a eu 667 000 travailleurs saisonniers. Parmi les travailleurs saisonniers, 273 470 ont occupé un poste dans les services aux particuliers. Quelle proportion de l’ensemble des travailleurs saisonniers cela représentait-il ?

p=273470667000=0,41=41%.

2Taux d’évolution (ou variation relative)

A Taux d’évolution

Définition

Le taux d’évolution (ou variation relative) entre deux nombres réels strictement positifs, y1 et y2 est : t=y2y1y1.

Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une hausse et négatif dans le cas d’une baisse.

Le taux d’évolution peut être écrit sous forme de fraction, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.

Exemple : Entre 2011 et 2012, les dépenses hospitalières, en France, sont passées de 57,6 milliards d’euros à 59,7 milliards d’euros.

t=59,757,657,6=2,157,60,0365=+3,65 %.

B Coefficient multiplicatif

Définition

Si t est le taux d’évolution de y1 à y2, alors y2 = (1 + t)y1 ; c = 1 + t est le coefficient multiplicatif de y1 à y2.

Dans le cas d’une hausse de a %, t=a100 est positif, et le coefficient multiplicatif c = 1 + t est supérieur à 1.

Dans le cas d’une baisse de a %, t=a100 est négatif, et le coefficient multiplicatif c = 1 + t est inférieur à 1.

Exemples

Une hausse de 10 % pour une quantité passant de y1 à y2 se traduit par :

y2=y1+10100y1=1+10100y1=1,1y1. Le coefficient multiplicatif est c = 1,1.

Une baisse de 10 % se traduit par :

y2=y110100y1=110100y1=0,9y1. Le coefficient multiplicatif est c = 0,9.

Une baisse de 98 % se traduit par :

y2=y198100y1=198100y1=0,02y1. Le coefficient multiplicatif est c = 0,02.

Une hausse de 300 % se traduit par :

y2=y1+300100y1=1+300100y1=4y1. Le coefficient multiplicatif est c = 4.

C Évolutions successives

Deux évolutions (hausses ou baisses) successives, de coefficients multiplicatifs c et c’, correspondent à une évolution globale (hausse ou baisse) de coefficient multiplicatif c · c’ (Pour deux évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicatifs).

Le résultat précédent se généralise au cas de plus de deux évolutions successives.

Exemples

Une quantité augmente de 10 % puis baisse de 20 %.

Le coefficient multiplicatif de la hausse est : c1 = 1,1 ; le coefficient multiplicatif de la baisse est : c2 = 0,8. ; le coefficient multiplicatif de l’évolution globale est cc1 × c2 = 0,88 = 1 – 0,12.

L’évolution globale est une baisse de 12 %.

Le prix d’une matière première utilisée dans la fabrication de médicaments augmente la première année de 25 % et augmente de 30 % la seconde année. Vérifier que ces deux hausses successives correspondent à un coefficient multiplicatif de 1,625, donc à une hausse de 62,5 %.

Vérifier que deux baisses successives de 10 % et 20 % correspondent à une baisse de 28 %.

D Évolutions réciproques

Définition

Deux évolutions (hausse et baisse) sont réciproques si et seulement si leurs coefficients multiplicatifs c et c’ sont inverses : cc’ = 1.

Si t et t’ sont les deux taux d’évolution correspondants, 1+t'=11+t.

Exemple

Une hausse de 25 % correspond à un coefficient multiplicatif c=1+25100=1,25.

Une baisse de 20 % correspond à un coefficient multiplicatif c'=120100=0,8.

c × c’ = 1,25 × 0,8 = 1. Les deux évolutions sont réciproques.