L’objectif de ce chapitre est de résoudre des problèmes à l’aide de la notion de suite arithmétique.
7Les suites arithmétiques
1Ce qu’il faut savoir faire
- Générer par le calcul ou à l’aide d’un outil numérique (calculatrice, tableur…) une suite arithmétique.
- Étudier le sens de variation d’une suite arithmétique.
- Calculer le nième terme d’une suite arithmétique connaissant le premier terme et la raison.
- Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points d’une suite arithmétique.
- Reconnaître les premiers termes d’une suite arithmétique.
- Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique à l’aide de sa raison.
- Calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique avec ou sans outils numériques.
À noter
L’utilisation des TICE (calculatrice ou logiciel pour représenter une suite arithmétique, calculer le nième terme, la somme, vérifier qu’une suite peut être une suite arithmétique) peut nécessiter l'intervention du professeur.
2Pour réussir le CCF
- Les étapes du raisonnement pour calculer le nième terme et la somme :
1. Connaître la valeur du premier terme et de la raison
2. Calculer la valeur du nième terme
3. Calculer la somme de n termes (il faut connaître la valeur du nième terme pour pouvoir calculer la somme)
- Les étapes du raisonnement pour déterminer la valeur de la raison :
1. Si on connaît la suite de nombres, calculer la différence entre 2 termes successifs
2. Si on a la représentation graphique de la suite, repérer la valeur de chacun des termes. Ensuite faire l’étape 1 de ce raisonnement
Méthode
Mise en application
Deux amis se mettent à la course à pied. Le premier a fait 3 km la première semaine et augmente chaque semaine de 0,225 km la distance qu’il parcourt. Le deuxième a noté les distances qu’il a parcourues les 4 premières semaines :
Semaine |
1 |
2 |
3 |
4 |
Distance en km |
3,2 |
3,365 |
3,53 |
3,695 |
1. Déterminez la distance parcourue par le premier la 10e semaine.
2. Si cela est possible, déterminez la distance parcourue par le deuxième la 10e semaine.
3. Déterminez le sens de variation de ces 2 suites.
4. Lequel des deux aura parcouru le plus de distance en 10 semaines ?
Les solutions détaillées
1. Déterminez tout d’abord la valeur du premier terme et de la raison. Il a parcouru 3 km la première semaine donc U1 = 3. La distance augmente chaque semaine de 0,225 km donc r = 0,225.
On peut calculer maintenant U10 : U10 = U1 + 9 × r ; U10 = 3 + 9 × 0,225 = 5,025. Le premier a parcouru 5,025 km la 10e semaine.
2. Il faut établir si nous avons à faire à une suite arithmétique puis calculer la différence entre 2 termes successifs.
U2 - U1 = 3,365 – 3,2 = 0,165 ; U3 – U2 = 3,53 – 3,365 = 0,165 ;
U4 – U3 = 3,695 – 3,53 = 0,165.
Les différences sont toutes identiques, cette suite est bien une suite arithmétique.
On peut calculer maintenant U10 : U10 = U1 + 9 × r ; U10 = 3,2 + 9 × 0,165 = 4,685
Le deuxième a parcouru 4,685 km la 10e semaine.
3. Dans les 2 cas, les raisons sont positives donc les suites sont croissantes.
4. Il faut calculer les sommes.
Pour le premier S10 = = = 40,125
Pour le deuxième S10 = = = 39,425
C’est donc le premier qui aura parcouru le plus de km (40,125 km).
