L’objectif de ce chapitre est de résoudre des problèmes à l’aide de la notion de suite géométrique.
8Les suites géométriques
1Ce qu’il faut savoir faire
Info
• Dans le cas des suites géométriques, on utilise régulièrement les coefficients correspondants à une augmentation ou une réduction d’un pourcentage.
• Revoir la fiche sur les pourcentages si nécessaire.
- Calculer un terme de rang donné d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n.
- Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points
(n ; un) dans le cas où (un) est une suite géométrique. - Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique à l’aide
de sa raison q avec q > 0 et de son premier terme. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques.
À noter
L’utilisation des TICE (calculatrice ou logiciel pour représenter une suite géométrique, calculer le nième terme, la somme ou vérifier qu’une suite peut être une suite géométrique) peut nécessiter l'intervention du professeur.
2Pour réussir le CCF
Les étapes du raisonnement pour calculer le nième terme et la somme :
1. Repérer ou déterminer la valeur de U1
2. Repérer ou déterminer la valeur de la raison
3. Calculer le nième terme et/ou la somme soit à l’aide des formules, soit à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice
Méthode
Mise en application
Vous aimeriez pouvoir acheter une voiture dans 2 ans (soit 24 mois). Vous espérez avoir au moins 3 000 €. Pour cela, vous décidez d’épargner de l’argent tous les mois. Possibilité A : vous épargnez le premier mois 100 € et ensuite 2 % de plus tous les mois.
1. Déterminez avec cette possibilité, la valeur du 24e versement.
2. Déterminez la somme totale que vous aurez au bout de 24 mois.
Possibilité B : un de vos camarades vous donne un tableau avec
son épargne.
Mois |
1 |
2 |
3 |
Somme épargnée |
80 |
82,4 |
84,872 |
Il vous dit qu’il permet d’épargner plus d’argent qu’avec la possibilité A (en épargnant seulement 80 € le premier mois).
3. Êtes-vous d’accord avec votre camarade ?
Les solutions détaillées
1. Nous sommes dans le cas d’une suite géométrique avec comme premier terme 100 et comme raison q = 1 + 2 % = 1,02. Calcul du 24e terme :
U24 = 100 × 1,0223 = 157,69. Le 24e placement est de 157,59 €.
2. Il faut calculer la somme.
S24=U1 = 100 = 3 042,19
La somme totale à la fin du placement sera de 3 042,19 €.
3. Il faut tout d’abord savoir si les 3 premiers versements correspondent à une suite géométrique.
;
Nous sommes bien dans le cas d’une suite géométrique de raison 1,03.
Calcul du 24e terme :
U24 = 90 × 1,0323 = 177,62
Le 24e placement est de 177,62 €.
Il faut calculer la somme.
S24=U1 = 80 = 3 098,38
La somme totale à la fin du placement sera de 3 098,38 €.
Votre camarade a raison. Vous obtenez 3 098,38 € au lieu de 3 042,19 €.
