Terminale générale Mathématiques Vecteurs, droites et plans de l'espace

On peut étendre à l'espace, qui est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , la notion de vecteur vue dans le plan, et les opérations associées.

I Définitions et opérations

1 Vecteurs de l'espace

Soit A et B deux points de l'espace. Le vecteur $\vec{AB}$ est défini par :

sa direction, celle de la droite $(AB)$ ;

son sens, de A vers B ;

sa norme, notée $‖\vec{AB}‖$ , qui est la distance $AB = ‖\vec{AB}‖ $ .

Comme en géométrie plane, on peut définir la translation de vecteur $\vec{AB}$ (notée $t_{\vec{AB}}$ ) qui transforme le point A en le point B.

Pour tous points A, B, C, D :

$\vec{AB} = \vec{CD} \Leftrightarrow$ ABDC est un parallélogramme.

2 Addition de deux vecteurs

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On définit le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ en construisant un parallélogramme : si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$ , alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{AD}$ tel que ABDC est un parallélogramme. L'image du point C par la translation de vecteur $\vec{AB}$ est D.

Pour tous les points A, B et C : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (relation de Chasles).

3 Multiplication d'un vecteur par un réel

Soit $\vec{u}$ un vecteur de l'espace, $\vec{u} \neq \vec{0}$ , et $α$ un réel, $α \neq 0$ .

Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel $α$ est le vecteur noté $α \vec{u}$ qui a :

la même direction que $\vec{u}$ ;

le même sens que $\vec{u}$ si $α > 0$ , le sens contraire si $α < 0$ ;

pour norme $‖α \vec{u}‖ = |α| \times ‖\vec{u}‖$ .

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $α = 0$ , alors $α \vec{u} = \vec{0}$ .

Pour tous nombres réels $α$ et $β$ , et tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace :

À noter

Comme dans le plan, le vecteur nul, noté $\vec{0}$ , est le vecteur dont la norme est égale à 0. L'opposé d'un vecteur $\vec{u}$ est le vecteur $- \vec{u}$ .

$α (\vec{u} + \vec{v}) = α \vec{u} + α \vec{v}$ et $(α + β) \vec{u} = α \vec{u} + β \vec{u}$ .

II Vecteurs colinéaires et points alignés, coordonnées

Soit A, B et C trois points de l'espace.

A, B, C alignés $\Leftrightarrow$ $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires $\Leftrightarrow Il existe α \in ℝ tel que \vec{AC} = α \vec{AB}$ .

Pour tous vecteurs $\vec{u} (x; y; z)$ et $\vec{v} (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ de l'espace, et tout $α \in ℝ$ : $\vec{u} + \vec{v} (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ et $α \vec{u} (α x; α y; α z)$ .

Soit $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ deux points de l'espace. On note I le milieu de [AB].

$\vec{AB} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

$I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Pour tous points $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ de l'espace :

$‖\vec{AB}‖ = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}} = AB$

Méthode

Utiliser les propriétés des vecteurs de l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A (2; - 1; 3)$ , $B (- 1; - 2; 5)$ et $C (8; 1; - 1)$ .

a. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

b. Calculer les coordonnées du milieu I du segment $[AC]$ .

Conseils

a. Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis cherchez un nombre réel $α$ tel que $\vec{AC} = α \vec{AB}$ .

b. Appliquez la formule $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Solution

a. $\vec{AB}$ $(- 1 - 2; - 2 - (- 1); 5 - 3)$ , soit $\vec{AB} (- 3; - 1; 2)$ .

$\vec{AC}$ $(8 - 2; 1 - (- 1); - 1 - 3)$ , soit $\vec{AC} (6; 2; - 4)$ .

Ainsi $\vec{AC} = - 2 \vec{AB}$ , donc les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Les points A, B et C sont donc alignés.

b. $I (\frac{2 + 8}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}; \frac{3 + (- 1)}{2})$ , soit $I (5; 0; 1)$ .

Les vecteurs de l'espace